szukanie zaawansowane
 [ Posty: 2 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 15 lis 2016, o 15:41 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 413
Lokalizacja: komp
Znaleźć największą wartość funkcji f

f(x;y) = \frac{{\sqrt {a^2  + b^2 }  + \sqrt {\left( {a - x} \right)^2  + y^2 } }}{{\sqrt {x^2  + y^2  + b^2 } }}

Bez pochodnych czastkowych....
Góra
Kobieta Offline
PostNapisane: 16 lis 2016, o 05:48 
Użytkownik

Posty: 1286
Zrobię przypadek a,b\neq 0, reszta wydaje mi się buchalterią. Nie upraszczam, żeby nie pogubić znaków - u mnie ta pora mało sprzyja myśleniu.

Mamy z QM-AM:

\frac{{\sqrt {a^2 + b^2 } + \sqrt {\left( {a - x} \right)^2 + y^2 } }}{{\sqrt {x^2 + y^2 + b^2 } }}\le\sqrt{2}\cdot\sqrt{\frac{a^2+b^2+(a-x)^2+y^2}{x^2+y^2+b^2}}=\sqrt{2}\cdot\sqrt{1+2\cdot\frac{a^2-ax}{x^2+y^2+b^2}}

Tzn. potrzebujemy znaleźć najmniejszą stałą k^2, taką że zawsze będzie \frac{a^2-ax}{x^2+y^2+b^2}\le k^2.
To jest równoważne k^2\left(x+\frac{a}{2k^2}\right)^2+k^2y^2+k^2b^2-a^2-\frac{a^2}{4k^2}\ge 0\quad (*)

Potrzebujemy więc tylko zapewnić, by zawsze 4b^2k^4-4a^2k^2-a^2\ge 0.

Stąd najmniejsze takie k^2=\frac{a^2+\sqrt{a^4+a^2b^2}}{2b^2}.

Równość w nierówności (*) mamy więc dla x=\frac{a^2-\sqrt{a^4+a^2b^2}}{a},\ y=0 i tak się składa, że dla tych danych mamy też równość w QM-AM.

Wystarczy sprawdzić teraz, czy dostaniemy

f\left(\frac{a^2-\sqrt{a^4+a^2b^2}}{a},0\right)=\sqrt{\frac{a^2+b^2+\sqrt{a^4+a^2b^2}}{b^2}}

Jeżeli tak jest, to mamy szukaną największą wartość funkcji, a jeśli nie, to gdzieś się pomyliłam.

-- 17 listopada 2016, 12:55 --

Warto było sprawdzić, bo w ostatniej równości oczywiście zabrakło współczynnika.:roll: To powinno wyglądać tak:

f\left(\frac{a^2-\sqrt{a^4+a^2b^2}}{a},0\right)=\sqrt{2}\cdot\sqrt{\frac{a^2+b^2+\sqrt{a^4+a^2b^2}}{b^2}}
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 2 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 wartość funkcji - zadanie 4  xvincex  1
 wartość funkcji - zadanie 16  adaxada  2
 Wartość funkcji - zadanie 17  martle  1
 Wartość funkcji - zadanie 18  martle  1
 Wartość funkcji - zadanie 21  Maniut  5
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl