szukanie zaawansowane
 [ Posty: 7 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 15 lis 2016, o 22:51 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 19
Lokalizacja: Polska
Mam wyznaczyć funkcję odwrotną zadanie nic nie wspomina o sprawdzaniu czy funkcja jest bijekcją ale jeśli miałbyś ochote na to to bym też był wdzięczny, i tu takie dwa przykłady się pojawiły gdzie nie wiem jak zacząć i jak to ogarnąć:

1) f(x)=x^6 \sgn x

2) f(x)= \begin{cases} -x^2 \ \text{ dla } \ x<0 \\ 2+x \ \text{ dla } \ x  \ge 0 \end{cases}


No wiadomo trzeba wyznaczyć x ale nie moge nawet pokombinować z tym, pierwszy przykład z signum format podobny staje się do przykładu drugiego, prosiłbym o jakieś wskazówki, dziękuje.

1) y = x^6 \sgn x

..
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 15 lis 2016, o 23:05 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 572
Lokalizacja: Kraków
Dla pierwszego masz: f(x)= \begin{cases} x^{6} \ : \ x \ge 0 \\  -x^{6} \ : \ x < 0  \end{cases}.

Więc odwrotna będzie: g(y)= \begin{cases}  \sqrt[6]{x} \ : \ x\ge 0  \\ -\sqrt[6]{-x} \ : \ x<0 \end{cases}.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 16 lis 2016, o 19:58 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 19
Lokalizacja: Polska
Yelon napisał(a):
Dla pierwszego masz: f(x)= \begin{cases} x^{6} \ : \ x \ge 0 \\  -x^{6} \ : \ x < 0  \end{cases}.

Więc odwrotna będzie: g(y)= \begin{cases}  \sqrt[6]{x} \ : \ x\ge 0  \\ -\sqrt[6]{-x} \ : \ x<0 \end{cases}.

Ogólnie wiem jak do tego doszedłeś ale odpowiedź w książce jest inna której zapomniałem podać.
Odpowiedź do pierwszego z książki (bo tylko do pierwszego mam) to:

f(y)^{-1}  = \sgn\ y \sqrt[6]{y\ \sgn \ y},  y \in\RR
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 16 lis 2016, o 20:38 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 572
Lokalizacja: Kraków
jest to ta sama odpowiedź tylko zapisana ze znakiem sgn. Rozwiń go (przypadki kiedy y jest dodatni, ujemny lub zero) i otrzymasz to samo co ja. u mnie funkcja g to w książce f^{-1}. natomiast pomyliłem się wcześniej - oczywiście przy funkcji g, w klamrze powinna być zmienna y a nie x.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 16 lis 2016, o 21:15 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 19
Lokalizacja: Polska
Ale dlaczego w przypadku x<0 jest

-\sqrt[6]{-x}

skąd te dwa minusy?

y = x^6 \sgn x
\\ \\x^6 =  \frac{y}{sgn x}
\\x =  \sqrt[6]{\frac{y}{sgn x}}
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 16 lis 2016, o 21:33 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 572
Lokalizacja: Kraków
Funkcja wyjściowa jest nieparzysta, odwrotna też jest nieparzysta. Patrzysz najpierw na łatwiejszą "dodatnią" część. Dla x=1 masz + \sqrt[6]{1}, zatem dla wartości x=-1 chcesz mieć wartość ujemną pierwiastka w odpowiadającym mu punkcie po stronie dodatniej.

Pierwszy minus (ten przed pierwiastkiem) obraca funkcję wokół osi OX, ale przecież dla x=-1 nie możesz wejść pod pierwiastek bo -1 jest liczbą ujemną. Więc jeśli teraz włożysz drugi minus pod pierwiastek, to wszystkie podstawiane liczby ujemne staną się dodatnie.

To tak dla wyobrażenia, bo sama istota tkwi po prostu w rachunkach, to znaczy: tyle wychodzi i już. :D
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 16 lis 2016, o 22:14 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 19
Lokalizacja: Polska
No ale to w takim wypadku
y = -x^{6} \\x^{6} = -y \\x =  \sqrt[6]{-y}

lub
x = -\sqrt[6]{y}


Ogólnie nie wiem jak rachunkowo ten minus się tam pojawia? Bo co bo potęga jest parzysta i wynik zawsze będzie dodatni więc trzeba zrobić z tego liczbe dodatnią, ale to jest rachunkowo jakieś dziwne bo wtedy

tak jakby z tego:
x = -1\sqrt[6]{y}
robi się
x = -1\sqrt[6]{-1 \cdot y}

Czy to dlatego że:
-x = \sqrt[6]{-1 \cdot y} \\
x = -1\sqrt[6]{-1 \cdot y}

Nie wiem jak inaczej.
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 7 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 Funkcja zaokrąglajaca  Anonymous  3
 Surjekcja (funkcja "na")  lucky36  1
 Funkcja z parametrem...  Finarfin  2
 Jaka to funkcja?  Anonymous  1
 Nowe pojęcie - funkcja cecha  jchris  2
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl