szukanie zaawansowane
 [ Posty: 8 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 19 lis 2016, o 09:15 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 124
Lokalizacja: Nowy Sącz
Oblicz pole trójkąta którego środkowe są równe 9, 12 i 15. Znalazłem niezbyt ładne i nieelementarne rozwiazanie, stąd moje pytanie - czy ma ktoś pomysł na rozwiazanie elementarne?
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 19 lis 2016, o 10:11 
Użytkownik

Posty: 118
Lokalizacja: Warszawa
Czy twoje nieelementarne rozwiązanie opierało się na przekształceniu wzoru na długości środkowych, obliczenie długości boków i skorzystanie ze wzoru Herona?
Ponadto zauważ, że środkowe przecinają się w stosunku 2:1
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 19 lis 2016, o 10:22 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 124
Lokalizacja: Nowy Sącz
Bez tego ostatniego. Obliczyłem sobie sinusa i z tego pole. Zastanawiam się czy jest jakies prostsze/szybsze rozwiązanie
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 19 lis 2016, o 11:20 
Użytkownik

Posty: 552
Lokalizacja: Polska
Środkowe trójkąta: a=9, b=12, c=15

Pole trójkąta = \frac{1}{3}\sqrt{-(a-b-c)(a+b+c)(a-b+c)(a+b-c)}=\frac{1}{3}\sqrt{18 \cdot 36 \cdot 12 \cdot 6}=72
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 19 lis 2016, o 14:14 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 124
Lokalizacja: Nowy Sącz
Mozesz wyjaśnić skad ten wzor, prosze?
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 19 lis 2016, o 14:49 
Użytkownik

Posty: 706
Udowodnij, że stosunek pola trójkąta ABC do pola trójkąta o bokach równej długości co jego środkowe to 4 : 3, stąd pole trójkąta to S=\frac 43\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}=\frac 13\sqrt{(a+b+c)(-a+b+c)(a-b+c)(a+b-c)}, gdzie s=\frac{a+b+c}2 i a,b,c to długości środkowych.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 19 lis 2016, o 15:15 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 1368
Lokalizacja: Katowice
rozważ trójkąt ABC, którego środek ciężkości to G

zbuduj równoległobok BGCX

jakie boki ma trójkąt BXG?

jak związane są pola trójkątów BXG i ABC?
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 19 lis 2016, o 19:12 
Użytkownik

Posty: 552
Lokalizacja: Polska
Gdy mamy podane środkowe trójkąta i chcemy policzyć pole trójkąta to możemy skorzystać ze wzoru Herona dla środkowych trójkąta który podał Dec1:
S=\frac{4}{3} \sqrt{p(p - m_{a})(p - m_{b})(p - m_{c})}

Oznaczenie:
S - pole trójkąta;
środkowe trójkąta:
m_{a}=9
m_{b}=12
m_{c}=15
p=\frac{m_{a}+m_{b}+m_{c}}{2}=\frac{9+12+15}{2}=18

S=\frac{4}{3} \sqrt{18(18 - 9)(18 -12)(18 - 15)}=\frac{4}{3} \cdot 54 = 72

Jest fajny dowód geometryczny tego twierdzenia. Środkowe dowolnego trójkąta potraktujmy jako proste a trójkąt odbijamy wzdłuż jego boków.

Przy obliczaniu pola trójkąta w poprzednim poście skorzystałem z równoważnego wzoru który można otrzymać tak jak napisał to Hayran lub w ten sposób. Z twierdzenia Apoloniusza [en.wikipedia.org/wiki/Median_(geometry)] mamy że boki dowolnego trójkąta a,b,c równe są:
a = \frac{2}{3} \sqrt{-m^{2}_{a}+2m^{2}_{b}+2m^{2}_{c}}
b = \frac{2}{3} \sqrt{-m^{2}_{b}+2m^{2}_{a}+2m^{2}_{c}}
c = \frac{2}{3} \sqrt{-m^{2}_{c}+2m^{2}_{a}+2m^{2}_{b}}
Podstawiamy to do wzoru Herona na pole trójkąta i po uproszczeniu otrzymamy wzór:
S= \frac{1}{3}\sqrt{-(m_{a}-m_{b}-m_{c})(m_{a}+m_{b}+m_{c})(m_{a}-m_{b}+m_{c})(m_{a}+m_{b}-m_{c})}
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 8 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 Środkowe trójkąta - zadanie 22  kicpereniek  1
 Środkowe trójkąta - zadanie 12  patkaa  3
 Środkowe trójkąta - zadanie 5  peterson506  3
 środkowe trójkąta - zadanie 7  FEMO  4
 środkowe trójkąta - zadanie 9  martolka  2
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl