szukanie zaawansowane
 [ Posty: 3 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 19 lis 2016, o 11:39 
Użytkownik

Posty: 33
Lokalizacja: Polska
Witam, proszę o pomoc w rozwiązaniu zadania:
Zbadaj liczbę rozwiązań równania \frac{2x^{3}}{x^{2}-9}=m w zależności od wartości parametru m, m € R.
Więc zacząłem od zbadania przebiegu zmienności funkcji \frac{2x^{3}}{x^{2}-9}
Dziedzina: x  \in (-\infty;-3)\cup(-3;3)\cup(3;+\infty)
Miejsce zerowe: x=0
f(0)=0
\lim_{x \to +\infty}=+\infty
\lim_{x \to -\infty}=-\infty
Asymptota ukośna wyszła mi y=2x
\lim_{x \to -3^{-}}=-\infty
\lim_{x \to -3^{+}}=+\infty Czyli asymptota pinowa w x=-3

\lim_{x \to 3^{-}}=-\infty
\lim_{x \to 3^{+}}=+\infty Czyli asymptota pinowa w x=3
f'(x)=\frac {2x^{4}-54x^{2}} {(x^{2}-9)^{2}}
D'=D
Dla każdego x  \in D(x^{2}-9)^{2} jest >0
f'(x)=0wtedy i tylko wtedy, gdy 2x^{4}-54x^{2}=0
x=0 \vee x=3\sqrt{6} \vee x=-3\sqrt{6}
W zerze mamy pierwiastek podwojny, więc mamy odbicie (na rysunku) i w x=-3\sqrt{6} jest maksimum, a w x=3\sqrt{6} minimum
f_{min}(-3\sqrt{6})=-7,2\sqrt{6}
f_{maks}(3\sqrt{6})=7,2\sqrt{6}

Funkcja rośnie (-\infty;-3\sqrt{6});(3\sqrt{6};+\infty)
Funkcja maleje (-3\sqrt{6};-3);(-3;0);(0;3);(3;3\sqrt{6})

Czy do tej pory robię to dobrze, proszę o pomoc.
Góra
Instytut Matematyczny, Uniwersytet Wrocławski
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 19 lis 2016, o 12:43 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 5089
Jest dobrze prócz błędu rachunkowego który istotnie wpływa na wynik:

netshow napisał(a):
f'(x)=0wtedy i tylko wtedy, gdy 2x^{4}-54x^{2}=0
x=0 \vee x=3\sqrt{\red 3 \black} \vee x=-3\sqrt{\red 3 \black}
W zerze mamy pierwiastek podwojny, więc mamy odbicie (na rysunku) i w x=-3\sqrt{\red 3 \black} jest maksimum, a w x=3\sqrt{\red 3 \black} minimum
Góra
Mężczyzna Online
PostNapisane: 19 lis 2016, o 13:07 
Użytkownik

Posty: 1923
Lokalizacja: Warszawa
Nie musisz do tego badać funkcji. Popatrzmy:

\frac{2x^{3}}{x^{2}-9}=m

Dziedzina: x \neq  \pm 3

Pomnóżmy obie strony przez mianownik:

2x^3=m(x^2-9)

2x^3-mx^2+9m=0

Mamy zbadać liczbę rozwiązań tego wielomianu trzeciego stopnia w zależności od m. Jak wiadomo, wielomian 3 st. ma co najmniej jedno rozwiązanie. Żeby miał dwa, trzeba, żeby jedno z jego ekstremów było zerem (spróbuj to wyjaśnić). Zeby istniały trzy rozwiązania trzeba, żeby jego maksimum było większe od zera, a minimum - mniejsze.
Wystarczy więc policzyć te ekstrema i przyrównać do zera.
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 3 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 Zbadaj liczbę rozwiązań - zadanie 8  Warlok20  2
 zbadaj liczbę rozwiązań - zadanie 4  yoana91  1
 zbadaj liczbę rozwiązań - zadanie 10  marcel112  3
 zbadaj liczbę rozwiązań - zadanie 2  Kocurka  1
 zbadaj liczbe rozwiązań  moni091manunited  1
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl