szukanie zaawansowane
 [ Posty: 4 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 22 lis 2016, o 18:02 
Użytkownik

Posty: 321
Lokalizacja: Warszawa
Korzystając ze wzoru dwumianowego Newtona obliczyć sumę:

\sum_{k=0}^{n} {2n+1\choose k}
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 22 lis 2016, o 18:38 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 6555
\sum_{k=0}^{n} {2n+1\choose k}= \frac{1}{2}\sum_{k=0}^{n} 2{2n+1\choose k}= \frac{1}{2}\sum_{k=0}^{n} \left( {2n+1\choose k}+{2n+1\choose 2n+1-k} \right)=\\=\frac{1}{2}\sum_{k=0}^{2n+1}  {2n+1\choose k} =  \frac{1}{2} (1+1) ^{2n+1}=2^{2n}
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 22 lis 2016, o 20:48 
Użytkownik

Posty: 321
Lokalizacja: Warszawa
Niestety nie rozumiem przejścia pomiędzy trzecim a czwartym etapem rozumowania. :/
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 23 lis 2016, o 15:39 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 6555
Pokażę tylko problematyczny fragment
\blue \sum_{k=0}^{n} {2n+1\choose 2n+1-k} \black  =\left[ t=2n+1-k\right]= \sum_{t=2n+1}^{2n+1-n}  {2n+1\choose t}= \sum_{t=2n+1}^{n+1}  {2n+1\choose t}=\\=  \sum_{t=n+1}^{2n+1}  {2n+1\choose t}=\left[ t=k\right]=\magenta\sum_{k=n+1}^{2n+1}  {2n+1\choose k}

Dlatego
...= \frac{1}{2}\sum_{k=0}^{n} \left( {2n+1\choose k}+{2n+1\choose 2n+1-k} \right)=
 \frac{1}{2} \left( \sum_{k=0}^{n} \ {2n+1\choose k}+\blue  \sum_{k=0}^{n} {2n+1\choose 2n+1-k} \black   \right) =
=\frac{1}{2}\left( \sum_{k=0}^{n}  {2n+1\choose k}+\magenta \sum_{k=n+1}^{2n+1}  {2n+1\choose k}\black \right)=\frac{1}{2}\sum_{k=0}^{2n+1}  {2n+1\choose k} =...

Można było pominąć te przekształcenia jeżeli zauważyło się, iż suma składa się dokładnie z połowy współczynników rozwinięcia (a+b)^{2n+1}, a druga ich połowa jest symetryczna i ma taka samą sumę.
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 4 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 Rozwiazywanie rownania z uzyciem wzoru Newtona  birdy1986  7
 równanie z symbolem newtona.  apacz  5
 dwumian newtona - zadanie 2  basia  1
 Poszukiwanie wzoru w zadaniu o żabie  MakFly  0
 zad z symbolu newtona  Anonymous  1
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl