szukanie zaawansowane
 [ Posty: 4 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 9 wrz 2007, o 21:08 
Użytkownik

Posty: 2
Lokalizacja: Słupsk
Dostałem w piątek zadanka do zrobienia:D Nikt w klasie nie ma rozwiązania. Proszę pomóżcie. Na jutro, pilne...

1. Udowodnij, że dla każdej liczby nieparzystej n, liczba n^{3} + 3n^{2} - n - 3 jest podzielna przez 48.

2. Wykaż, ze dla każdej liczby całkowitej n, liczba \frac{n}{3}+\frac{n^{2}}{2}+\frac{n^{3}}{6} jest całkowita.



Proszę o szybka odpowiedź z rozwiazaniem. Z góry dzięki.

Temat i zapis poprawiłam.
ariadna
Uniwersytet Wrocławski Instytut Matematyczny - rekrutacja 2018
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 9 wrz 2007, o 21:41 
Gość Specjalny
Avatar użytkownika

Posty: 2643
Lokalizacja: Warszawa
2. \frac{n}{3}+\frac{n^2}{2}+\frac{n^3}{6}=\frac{2n+3n^2+n^3}{6} =\frac{n(n^2+3n+2)}{6}=\frac{n(n+1)(n+2)}{6}

W liczniku masz iloczyn trzech kolejnych liczb całkowitych, więc jedna jest podzielna przez 3 i co najmniej jedna podzielna przez 2, więc licznik na pewno jest podzielny przez 6, czyli ta liczba jest całkowita dla każdego n.

1. Skoro jest to liczba nieparzysta, to możemy ją przedstawić w postaci n=2k+1, czyli:
n^{3}+3n^{2}-n-3=n^2(n+3)-(n+3)=(n+3)(n^2-1)=(n+3)(n+1)(n-1)=(2k+4)(2k+2)2k=8k(k+1)(k+2)

k(k+1)(k+2) - iloczyn trzech kolejnych liczb, czyli podzielny przez 6 (patrz przykład wyżej), czyli liczba jest podzielna przez 6*8=48, co kończy dowód
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 9 wrz 2007, o 21:46 
Użytkownik

Posty: 2
Lokalizacja: Słupsk
Dzięki. Sam bym na to nie wpadł. Wielkie dzięki, jeszcze raz. W imieniu całej klasy :D
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 9 wrz 2007, o 21:48 
Gość Specjalny
Avatar użytkownika

Posty: 2643
Lokalizacja: Warszawa
Jak pilna sprawa, to cieszę się, że mogłem pomóc ;)
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 4 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 Udowodnij podzielność wyrażenia - zadanie 3  m4tys  6
 Udowodnij podzielność wyrażenia - zadanie 2  bajtek  2
 Podzielność przez 100 - zadanie 2  Filipos38  4
 podzielnosc przez 19  monikap7  8
 udowodnić podzielność przez 30  Fatina  14
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl