szukanie zaawansowane
 [ Posty: 4 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 9 wrz 2007, o 21:08 
Użytkownik

Posty: 2
Lokalizacja: Słupsk
Dostałem w piątek zadanka do zrobienia:D Nikt w klasie nie ma rozwiązania. Proszę pomóżcie. Na jutro, pilne...

1. Udowodnij, że dla każdej liczby nieparzystej n, liczba n^{3} + 3n^{2} - n - 3 jest podzielna przez 48.

2. Wykaż, ze dla każdej liczby całkowitej n, liczba \frac{n}{3}+\frac{n^{2}}{2}+\frac{n^{3}}{6} jest całkowita.



Proszę o szybka odpowiedź z rozwiazaniem. Z góry dzięki.

Temat i zapis poprawiłam.
ariadna
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 9 wrz 2007, o 21:41 
Gość Specjalny
Avatar użytkownika

Posty: 2643
Lokalizacja: Warszawa
2. \frac{n}{3}+\frac{n^2}{2}+\frac{n^3}{6}=\frac{2n+3n^2+n^3}{6} =\frac{n(n^2+3n+2)}{6}=\frac{n(n+1)(n+2)}{6}

W liczniku masz iloczyn trzech kolejnych liczb całkowitych, więc jedna jest podzielna przez 3 i co najmniej jedna podzielna przez 2, więc licznik na pewno jest podzielny przez 6, czyli ta liczba jest całkowita dla każdego n.

1. Skoro jest to liczba nieparzysta, to możemy ją przedstawić w postaci n=2k+1, czyli:
n^{3}+3n^{2}-n-3=n^2(n+3)-(n+3)=(n+3)(n^2-1)=(n+3)(n+1)(n-1)=(2k+4)(2k+2)2k=8k(k+1)(k+2)

k(k+1)(k+2) - iloczyn trzech kolejnych liczb, czyli podzielny przez 6 (patrz przykład wyżej), czyli liczba jest podzielna przez 6*8=48, co kończy dowód
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 9 wrz 2007, o 21:46 
Użytkownik

Posty: 2
Lokalizacja: Słupsk
Dzięki. Sam bym na to nie wpadł. Wielkie dzięki, jeszcze raz. W imieniu całej klasy :D
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 9 wrz 2007, o 21:48 
Gość Specjalny
Avatar użytkownika

Posty: 2643
Lokalizacja: Warszawa
Jak pilna sprawa, to cieszę się, że mogłem pomóc ;)
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 4 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 Udowodnij podzielność wyrażenia - zadanie 3  m4tys  6
 Udowodnij podzielność wyrażenia - zadanie 2  bajtek  2
 Podzielnosc przez 10  Pablo09  5
 Podzielność przez 3, z resztą 1.  maniekkk  12
 Ciekawa podzielność  Piotr Rutkowski  3
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl