szukanie zaawansowane
 [ Posty: 8 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 27 lis 2016, o 15:51 
Użytkownik

Posty: 33
Lokalizacja: Polska
Witam, proszę o pomoc w zadaniu: wyznacz zbiór wartości funkcji f:

f \left( x \right) =\frac {1}{x^{2}+2x-24}

x\in\left\langle -5;3 \right\rangle

Zacząłem tak:

f' \left( x \right) =\frac {-2x-2}{ \left( x^{2}+2x-24 \right) ^{2}}

f' \left( x \right) =0 warunek konieczny istnienia ekstremum funkcji

-2x-2=0

x=1

f \left( -5 \right) =-\frac{1}{9}

f \left( 3 \right) =-\frac{1}{9}

f \left( 1 \right) =-\frac{1}{21}

Czyli wychodzi mi ZW_f=\left\langle -\frac{1}{9};-\frac{1}{21} \right\rangle.
Ale w odpowiedziach jest ZW_f=\left\langle -\frac{1}{9};-\frac{1}{25} \right\rangle

Więc, co robię źle? Proszę o pomoc.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 27 lis 2016, o 16:03 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 771
Lokalizacja: Jasło/Kraków
Sprawdź to :-2x-2=0  \Rightarrow x=1
Góra
Kobieta Offline
PostNapisane: 27 lis 2016, o 16:04 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 36
Lokalizacja: Rybnik/Katowice/Kraków
Jak to zwykle bywa wkradł się malutki błąd i potem zadanie nie wychodzi, a mianowicie:
Napisałeś: -2x-2=0 i potem, że x=1, kiedy powinno być x=-1
Kiedy podstawisz do wcześniej wykonanych obliczeń wszystko wychodzi.
Zawsze sprawdzam sobie znaki dwa razy, bo potem można nieźle popłynąć :)
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 27 lis 2016, o 16:20 
Użytkownik

Posty: 12538
Lokalizacja: Bydgoszcz
A poza tym rozumowanie jest niekompletne. Pomyśl co by było, gdybyś zamiast przedziału [-5,3] miał np. przedział [-10, 8]?
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 27 lis 2016, o 17:04 
Użytkownik

Posty: 1718
Nie trzeba obliczać pochodną do określenia zbioru wartości tej funkcji.

Zauważmy, że funkcja f jest funkcją ciagłą jako odwrotność trójmianu kwadratowego.

f(x) = \frac{1}{x^2 + 2x -24} = \frac{1}{x^2 +2x +1 - 25} = \frac{1}{(x+1)^2 -5^2}= \frac{1}{(x+1-5)(x+1+5)}= \frac{1}{(x-4)(x+6)}.

Jeśli naszkicujemy wykres trójmianu kwadratowego

t(x) =  ( x+6)(x-4) i ograniczymy go do przedziału \langle –5, 3 \rangle to zauważymy, że w końcach tego przedziału przyjmuje on równe wartości

t(-5)= t(3) = -9, zaś jego (minimum lokalne) występuje w punkcie x*=-1\in \langle -5, 3 \rangle i t_{min.lok.} = t(-1)= -25.

Stąd wynika, że zbiorem wartości funkcji f(x) = \frac{1}{t(x)} jest przedział

\left[ -\frac{1}{9}, -\frac{1}{25} \right].
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 27 lis 2016, o 17:21 
Użytkownik

Posty: 12538
Lokalizacja: Bydgoszcz
I znów nie do końca dobrze. A co by było gdyby ten trojmian miał pierwiastki?
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 27 lis 2016, o 17:52 
Użytkownik

Posty: 1718
Trójmian ma pierwiastki.

Należy określić dziedzinę funkcji f. Nie wolno nam zapisać wzoru funkcji f dopóty nie założymy, że jest ona określona na odpowiednim zbiorze. Jeśli go nie podajemy przyjmujemy tzw. dziedzinię naturalną funkcji.

W tym przypadku tą dziedziną jest zbiór R\setminus \left\{-6, 4\right\} i \left[ -5, 3\right]  \subset \left[-6, 4] - rozpatrywany przedział, w którym określamy zbiór wartości funkcji nie zawiera jej punktów osobliwych.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 27 lis 2016, o 17:54 
Użytkownik

Posty: 12538
Lokalizacja: Bydgoszcz
No i tego właśnie "drobiazgu" zabrakło.
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 8 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 zbior wartosci funkcji f  Gezzz  1
 zbiór wartości funkcji f  mala_mi  3
 Zbiór wartości funkcji f - zadanie 2  learnmath  12
 Rozkładanie funkcji wymiernej na ułamki proste.  Anja  4
 Badanie różnowartościowości funkcji.  Anonymous  1
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl