szukanie zaawansowane
 [ Posty: 4 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 27 lis 2016, o 23:55 
Użytkownik

Posty: 299
Lokalizacja: Polska
Wykaż, że iloczyn dwóch liczb niezerowych o tych samych znakach i określonej sumie jest największy, gdy te liczby są równe.

Myślałem o tym w ten sposób:

Założenie: a + b = x  \Rightarrow f(a, b, x) = a  \cdot  b; a \neq 0  \wedge  b  \neq 0

Teza: ab = fmax(a, b, x)  \Rightarrow a = b

Dowód:

Załóżmy, że a = b, wówczas:
a + b = 2a \\
  f(a, b, x) = a^2

Jako że suma jest stała, jej składniki możemy przekształcać dodając i odejmując składniki równomiernie:
2a = k \\
 a - k + a + k = x
Zostaje więc do wykazania:
a^2 > (a-k)(a+k) \\
 a^2 > a^2 - k^2
Co po przekształceniach daje
k^2 > 0
W wyniku przekształceń otrzymaliśmy zdanie, które jest zawsze prawdziwe, czyli teza jest prawdziwa, c. k. d.

Zawsze robię głupie błędy, dlatego pytam :P
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 28 lis 2016, o 00:07 
Gość Specjalny
Avatar użytkownika

Posty: 17710
Lokalizacja: Cieszyn
Wychodzisz od założenia tezy. Zatem wszystko źle.

Jeśli a+b=x, to b=x-a, więc ab=a(x-a) i jest to trójmian kwadratowy zmiennej a. Ma on maksimum dla a=\frac{x}{2}, wtedy też b=\frac{x}{2}. Sprawa nie zależy od znaków liczb a,b.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 28 lis 2016, o 00:10 
Użytkownik

Posty: 299
Lokalizacja: Polska
Zasadniczo, to ja nie do końca wyszedłem z tezy. Miałem wykazać, że jeśli ab = fmax, to a = b, a ja wykazałem, że jeśli a = b, to ab = fmax; no cóż. Dowody tego typu nigdy nie były moją działką XD

Dzięki za pomoc ;v
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 28 lis 2016, o 00:44 
Administrator

Posty: 20790
Lokalizacja: Wrocław
PoweredDragon napisał(a):
Zasadniczo, to ja nie do końca wyszedłem z tezy. Miałem wykazać, że jeśli ab = fmax, to a = b, a ja wykazałem, że jeśli a = b, to ab = fmax

Czyli dokładnie wyszedłeś od tezy.

JK
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 4 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 Iloczyn sum liczby a i kolejnych liczb nieparzystych  Taschon  1
 świat liczb rzeczywistych  jawor  7
 porównywanie liczb rzeczywistych  Tomo  3
 Rozstrzygnij, która z liczb jest większa  Tomasz B  5
 sprawdzanie która z liczb jest większa  czkawka  12
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl