szukanie zaawansowane
 [ Posty: 2 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 3 gru 2016, o 00:09 
Użytkownik

Posty: 41
Lokalizacja: Warszawa
Należy pokazać że dowolna liczba naturalna jest podzielna przez 9 wtedy i tylko wtedy gdy suma jej cyfr dzieli się przez 9.

Postanowiłem udowodnić ogólniej że dowolna liczba naturalna przystaje sumie swojej cyfr modulo 9, tj. \sum_{i=0}^n a_i 10^i = 9k + \sum_{i=0}^n a_i, gdzie \forall n\in \NN \quad a_n < 10 i k \in \NN. Indukcyjnie:

Dla n=0 oczywiste. Załóżmy że dla pewnego naturalnego n zachodzi \sum_{i=0}^n a_i 10^i = 9k + \sum_{i=0}^n a_i. Mamy

\begin{aligned}
\sum_{i=0}^{n+1} a_i 10^i &= 9k + \sum_{i=0}^n a_i + a_{n+1} 10^{n+1} = \\
&= 9k + \sum_{i=0}^n a_i + a_{n+1} (1+9)^{n+1} = \\
&= 9k + \sum_{i=0}^n a_i + a_{n+1} \sum_{i=0}^{n+1} {n+1 \choose i} 9^i = \\
&= 9k + \sum_{i=0}^n a_i + a_{n+1} (1 + \sum_{i=1}^{n+1} {n+1 \choose i} 9^i) = \\
&= 9k + \sum_{i=0}^n a_i + a_{n+1} + 9l = \\
&= 9(k + l) + \sum_{i=0}^{n+1} a_i
\end{aligned}

gdzie l \in \NN, co kończy dowód.

Poszukałem w internecie przykładowych rozwiązań i takiego nie znalazłem, mimo że pojawiały się również indukcyjne. Nie pomyliłem niczego?
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 3 gru 2016, o 00:18 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 13168
Lokalizacja: Wrocław
Wszystko jest OK.
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 2 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 Udowodnij podzielność liczby przez każdą liczbę naturalną <7  Stork  2
 Podzielność przez 97 i 7019801  alchemik  3
 Reszta z dzielenia 2 przez 5  zagubiona_uczennica  1
 Dowód podzielności - zadanie 6  Anonymous  3
 Udowodnij podzielność liczby z podzielności kwadratu.  mamrot  2
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl