szukanie zaawansowane
 [ Posty: 2 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 3 gru 2016, o 00:09 
Użytkownik

Posty: 39
Lokalizacja: Warszawa
Należy pokazać że dowolna liczba naturalna jest podzielna przez 9 wtedy i tylko wtedy gdy suma jej cyfr dzieli się przez 9.

Postanowiłem udowodnić ogólniej że dowolna liczba naturalna przystaje sumie swojej cyfr modulo 9, tj. \sum_{i=0}^n a_i 10^i = 9k + \sum_{i=0}^n a_i, gdzie \forall n\in \NN \quad a_n < 10 i k \in \NN. Indukcyjnie:

Dla n=0 oczywiste. Załóżmy że dla pewnego naturalnego n zachodzi \sum_{i=0}^n a_i 10^i = 9k + \sum_{i=0}^n a_i. Mamy

\begin{aligned}
\sum_{i=0}^{n+1} a_i 10^i &= 9k + \sum_{i=0}^n a_i + a_{n+1} 10^{n+1} = \\
&= 9k + \sum_{i=0}^n a_i + a_{n+1} (1+9)^{n+1} = \\
&= 9k + \sum_{i=0}^n a_i + a_{n+1} \sum_{i=0}^{n+1} {n+1 \choose i} 9^i = \\
&= 9k + \sum_{i=0}^n a_i + a_{n+1} (1 + \sum_{i=1}^{n+1} {n+1 \choose i} 9^i) = \\
&= 9k + \sum_{i=0}^n a_i + a_{n+1} + 9l = \\
&= 9(k + l) + \sum_{i=0}^{n+1} a_i
\end{aligned}

gdzie l \in \NN, co kończy dowód.

Poszukałem w internecie przykładowych rozwiązań i takiego nie znalazłem, mimo że pojawiały się również indukcyjne. Nie pomyliłem niczego?
Uniwersytet Wrocławski Instytut Matematyczny - rekrutacja 2019
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 3 gru 2016, o 00:18 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 13226
Lokalizacja: Wrocław
Wszystko jest OK.
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 2 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 Podzielność przez 9 - dowód.  RCCK  6
 Udowodnij, że liczba jest podzielna przez 6  Vormillion  4
 podzielność przez 11 - zadanie 11  szprot_w_oleju  3
 Udowodnienie niepodzielności przez 3  Kali  1
 Podzielnosc przez 33  Anonymous  1
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl