szukanie zaawansowane
 [ Posty: 3 ] 
Autor Wiadomość
Kobieta Offline
PostNapisane: 3 gru 2016, o 18:32 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 2757
Rozstrzygnąć, czy istnieje funkcja f: \NN  \rightarrow \NN taka, że f(f(n))=2n.

Dodam, że zadanie pochodzi z OM z roku 2000.

Funkcja taka istnieje, jedna z nich powstaje przy podzieleniu zbioru liczb naturalnych na zbiór A liczb, które w rozkładzie na czynniki pierwsze mają nieparzystą liczbę trójek i zbiór \NN  \setminus A liczb, które w rozkładzie na czynniki pierwsze ma mają parzystą liczbę trójek.
Funkcja ta określona jest następująco:
f(n) =  \begin{cases} \frac{1}{3}n \ n \in A  \\ 6n \ n \in \NN  \setminus A \end{cases}.

Zastanawia mnie, czy poprawne będzie skonstruowanie takich funkcji na podobnej zasadzie, dla każdej liczby pierwszej większej od dwójki. Np. dla p = 7.

A - zbiór liczb naturalnych, które w rozkładzie na czynniki pierwsze mają nieparzystą liczbę siódemek
A  \setminus \NN - zbiór liczb naturalnych, które w rozkładzie na czynniki pierwsze mają parzystą liczbę siódemek

f(n)=  \begin{cases} \frac{1}{7} n \ n \in A \\ 14n \ n \in \NN  \setminus A \end{cases}.

Wynikałoby z tego, że funkcji spełniających powyższe równanie jest nieskończenie wiele.
Góra
Instytut Matematyczny, Uniwersytet Wrocławski
Mężczyzna Online
PostNapisane: 3 gru 2016, o 19:22 
Użytkownik

Posty: 9331
Lokalizacja: Wrocław
Tak, masz rację, bardzo fajna obserwacja.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 4 gru 2016, o 22:22 
Moderator
Avatar użytkownika

Posty: 7329
Lokalizacja: Wrocław
Zbiór wszystkich takich funkcji można nawet sensownie zrozumieć.

Określmy na \NN relację równoważności:

n \sim m gdy (\exists k \in \NN) \, (n = 2^k m \vee m = 2^k n).

Reprezentantem każdej klasy może być na przykład element najmniejszy w tej klasie, czyli jedyna liczba nieparzysta z tej klasy. Teraz: ułóżmy wszystkie te klasy w pary uporządkowane, tj. niech

2 \NN + 1 = \{ n_i : i \in \NN \} \stackrel{\cdot}{\cup} \{ m_i : i \in \NN \} \\ 
P = \{ (n_i, m_i) : i \in \NN \}.

Wtedy funkcja f : \NN \to \NN zadana wzorem

\begin{cases} f(2^k \cdot n_i) = 2^k \cdot m_i \\ f(2^k \cdot m_i) = 2^{k+1} \cdot n_i \end{cases}

spełnia warunki zadania. Ponadto różnym parowaniom P odpowiadają różne funkcje oraz każda funkcja spełniająca warunki zadania pochodzi od pewnego parowania P. Czyli opisana odpowiedniość między parowaniami w zbiorze liczb nieparzystych i funkcjami spełniającymi warunki zadania jest wzajemnie jednoznaczna.
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 3 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 szeregi funkcyjne  wiola_pachla  1
 ciągi funkcyjne  rzeplita  1
 ciągi funkcyjne - kilka pytań  qaz  0
 Proste równanie z ciągiem!  Jestemfajny  5
 równanie z szeregiem i parametrem  muller  2
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl