szukanie zaawansowane
 [ Posty: 2 ] 
Autor Wiadomość
Kobieta Offline
PostNapisane: 4 gru 2016, o 22:24 
Użytkownik

Posty: 162
Lokalizacja: Kraków
Pokazać, że trzy proste, z których każda łączy wierzchołek trójkąta i punkt styczności okręgu dopisanego z przeciwległym bokiem, przecinają się w jednym punkcie.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 5 gru 2016, o 11:28 
Gość Specjalny

Posty: 3008
Lokalizacja: Gołąb
Niech C' będzie punktem styczności okręgu dopisanego do trójkąta ABC stycznym do boku AB zaś punkty E i F punktami styczności prostych AC i BC z tym okręgiem odpowiednio. Mamy wówczas:
CE=CF = \frac{a+b+c}{2}=p (dlaczego?)
Ponadto:
\frac{AC'}{C'B} = \frac{AE}{BF} = \frac{CE-AC}{CF-BC} = \frac{p-b}{p-a}
Oznaczając punkty styczności pozostałych okręgów dopisanych z bokami jako A' i B' i licząc analogicznie dostajemy:
\frac{AC'}{C'B} \cdot \frac{BA'}{A'C} \cdot \frac{CB'}{B'A} = 1,
co na mocy twierdzenia Cevy oznacza, że proste AA', BB', CC' przecinają się w jednym punkcie, a to należało pokazać.
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 2 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 Trójkąt prostokątny obrany punkt.Obliczyć odcinek do punktu.  Adam_Mathe  5
 Punkt M należy do podstawy..  asflie  8
 Okrag wpisany/opisany na trojkacie - zadania.  lipolipo  3
 Okrąg wpisany w trójkąt - zadanie 21  Goodwin  4
 Trojkat, okrag, styczna, kat ...  basiua  6
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl