szukanie zaawansowane
 [ Posty: 14 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 5 gru 2016, o 21:08 
Użytkownik

Posty: 89
Lokalizacja: Polska
To zadanie wprawdzie pojawiło się już na forum, ale nie chodzi mi tutaj o jego rozwiązanie. Prosiłbym, żeby ktoś zerknął czy moje rozumowanie może do czegoś prowadzić. Zadanie rozwiązałem już poprawnie na inny sposób, ale jestem ciekaw, czy byłem chociaż blisko rozwiązując je w ten sposób:

Wykaż, że dla całkowitego k poniższa liczba jest podzielna przez 5.
k(k+1)(k+9)(k^2 + 1) // było (k+9)+(k^2 + 1)
k^5 + 10k^4 + 10k^3 + 10k^2 + 9k
k^5 + 10k^4 + 10k^3 + 10k^2 + 10k - k
k^5 - k + 10(k^4 + k^3 + k^2 + k)
k(k^4 - 1) + 10(k^4 + k^3 + k^2 + k)
k(k^2+1)(k+1)(k-1) + 10(k^4 + k^3 + k^2 + k)

Na tym etapie się zatrzymałem, po prawej stronie znaku + jest liczba podzielna przez 10, więc i przez 5.
Po lewej za to mam 3 kolejne liczby oraz (k^2 + 1). Pomyslalem sobie, ze gdyby jakos rozbic to na dwie kolejne, inne niz poprzednie 3, liczby to zadanie można by rozwiązać w ten sposób. Lub też jakoś udowodnić, że całość k(k^2+1)(k+1)(k-1) w inny sposób jest podzielna przez 5 niż za pomocą tych 5 kolejnych liczb całkowitych.
Czy to rozumowanie dokądkolwiek prowadzi? Jeśli tak byłbym wdzięczny za wskazówkę.
Była to moja pierwsza myśl co do rozwiązania zadania i w sumie wolałbym, aby każde zadanie jakie robie mogło być rozwiązane za pomocą pierwszego pomysłu.
Jeśli nie to przynajmniej będę wiedział jakie pomysły prowadzą donikąd :)

EDIT: Źle przepisałem zadanie. Zamiast plusa powinno być mnożenie!
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 5 gru 2016, o 21:18 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 268
Lokalizacja: Łódzkie
Możesz rozpatrzeć przypadki, gdy k = 5n, k = 5n + 1, ... i tak dalej aż do k = 5n + 4 i zaobserwować, co się dzieje z wyrażeniem, które nie jest na pierwszy rzut oka podzielne przez 5.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 5 gru 2016, o 21:21 
Użytkownik

Posty: 89
Lokalizacja: Polska
Zgadza się, w ten sposób można nawet dość łatwo rozwiązać całe zadanie, ale jestem ciekaw czy da się to jakoś zrobić przekształcając to wyrażenie.
Góra
Kobieta Offline
PostNapisane: 5 gru 2016, o 21:21 
Użytkownik

Posty: 1278
Wielomian, którym się zajmujesz, jest w pierwszej linijce stopnia trzeciego, a w drugiej stopnia piątego. Idea prezentowana wygląda na słuszną, ale na poprawność rozwiązania wpływa też poprawność rachunków.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 5 gru 2016, o 21:23 
Użytkownik

Posty: 43
Lokalizacja: Wyszków
Zastanawiam się, czy w pierwszym wierszu na pewno każde k jest odpowiedniego stopnia, bo na oko wielomian wygląda na maksymalnie trzeciego.

Ten iloczyn na dole powinien pójść indukcyjnie.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 5 gru 2016, o 21:26 
Użytkownik

Posty: 89
Lokalizacja: Polska
Uwaga, faktycznie pomyliłem się, jednak w przepisywaniu przykładu. Już zedytowałem.

-- 5 gru 2016, o 21:28 --

Bourder napisał(a):
Zastanawiam się, czy w pierwszym wierszu na pewno każde k jest odpowiedniego stopnia, bo na oko wielomian wygląda na maksymalnie trzeciego.

Ten iloczyn na dole powinien pójść indukcyjnie.


A da się jakoś inaczej niż indukcyjnie? Jeszcze nie wiem nic o indukcji. Zadanie jest ze zbioru zadań maturalnych, z którego to się do owego egzaminu przygotowuję.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 5 gru 2016, o 21:32 
Użytkownik

Posty: 43
Lokalizacja: Wyszków
Rozłożyć bardziej się go raczej nie da. Ja nie mam pomysłu innego niż te podane wyżej.
Góra
Kobieta Offline
PostNapisane: 5 gru 2016, o 21:33 
Użytkownik

Posty: 1278
Weź swój wielomian i odejmij od niego k(k+1)(k-1)(k+2)(k-2). Otrzymaną różnicę nietrudno rozłożyć.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 5 gru 2016, o 21:47 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 805
Lokalizacja: Jasło/Kraków
https://www.matematyka.pl/393605.htm
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 5 gru 2016, o 21:48 
Użytkownik

Posty: 89
Lokalizacja: Polska
bosa_Nike napisał(a):
Weź swój wielomian i odejmij od niego k(k+1)(k-1)(k+2)(k-2). Otrzymaną różnicę nietrudno rozłożyć.


Czyli raczej bardziej przekształcić się tego kawałka przezemnie wskazanego nie da? Bo zadanie faktycznie da się rozwiązać na kilka sposobów, ale jestem ciekaw czy nie da się tego zrobić jakimś zwykłym, sprytnym przekształceniem.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 5 gru 2016, o 21:51 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 10581
Lokalizacja: Wrocław
No to w linku od pawlo392 masz sprytne przekształcenie.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 5 gru 2016, o 21:53 
Użytkownik

Posty: 89
Lokalizacja: Polska
pawlo392 napisał(a):


A faktycznie, też ciekawe rozwiązanie i na zasadzie takiej jak chciałem. Czyli bez bezmyślnego wstawiania tylko na chama kolejnych wartości. Dzięki wielkie :)
Góra
Kobieta Offline
PostNapisane: 5 gru 2016, o 21:54 
Użytkownik

Posty: 1278
k^2+1=k^2-4+5
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 24 gru 2016, o 09:29 
Użytkownik

Posty: 126
Lokalizacja: Warszawa
Jak rozumiem chcesz wykazać, że 5\mid k^5-k. Albo można powołać się na małe twierdzenie Fermata, albo:
Ukryta treść:    
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 14 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 Wykazać podzielność przez sześć. - zadanie 3  olgga  5
 wykazać że liczba jest podzielna przez 6  oemxuser  9
 Podzielność przez 198 różnicy dwóch liczb nieparzystych  MuKuL  1
 podzielność przez 6  elektryk1  5
 podzielnosc przez 5  asiaaadg  1
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl