szukanie zaawansowane
 [ Posty: 5 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 6 gru 2016, o 14:39 
Użytkownik

Posty: 49
Lokalizacja: Łódź
Witam, może mi ktoś pomóc z uporządkowaniem poniższego wyrażenia?

14+3 \left( \sqrt[3]{7 + 5 \sqrt{2} } \right) ^{2} \cdot \sqrt[3]{7-5 \sqrt{2} } + 3 \left( \sqrt[3]{7 + 5 \sqrt{2} } \right) \cdot \sqrt[3]{ \left( 7-5 \sqrt{2}  \right) ^ {2}}
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 6 gru 2016, o 14:45 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 5518
Może to pomoże:
7+5 \sqrt{2} =(1+ \sqrt{2} )^3\\
7-5 \sqrt{2} =(1- \sqrt{2} )^3


Edit:
\sqrt[3]{7+5 \sqrt{2} } +  \sqrt[3]{7-5\sqrt{2}} = \sqrt[3]{(1+ \sqrt{2})^3 } +  \sqrt[3]{(1-\sqrt{2})^3}=1+2\sqrt{2}+1-\sqrt{2}=2
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 6 gru 2016, o 14:59 
Użytkownik

Posty: 49
Lokalizacja: Łódź
Generalnie zadanie jest typu wykaż, że liczba \sqrt[3]{7+5 \sqrt{2} } +  \sqrt[3]{7-5\sqrt{2}} =2, założyłem że prawa strona = x i podniosłem do ^3 i się zgubiłem, bo widzę wyjście ale nie wiem jak to rozpisać
Góra
Mężczyzna Online
PostNapisane: 6 gru 2016, o 15:13 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 10243
Lokalizacja: Wrocław
Można i tak. Niech
x=\sqrt[3]{7+5 \sqrt{2} } + \sqrt[3]{7-5\sqrt{2}}
Wtedy x^3=14+3(7+5 \sqrt{2})^{\frac 2 3} \sqrt[3]{7-5\sqrt{2}}+3\sqrt[3]{7+5 \sqrt{2}} (7-5\sqrt{2})^{\frac 2 3}

Zauważmy teraz, że \sqrt[3]{7+5\sqrt{2}}\sqrt[3]{7-5\sqrt{2}}=-1, więc otrzymujemy, że
x^3=14-3\sqrt[3]{7+5\sqrt{2}}-3\sqrt[3]{7-5\sqrt{2}}, czyli znowu wstawiając x,
x^3+3x-14=0
Zatem \sqrt[3]{7+5 \sqrt{2} } + \sqrt[3]{7-5\sqrt{2}}
jest pierwiastkiem wielomianu P(t)=t^3+3t-14
Z twierdzenia o pierwiastkach wymiernych podstawiamy na pałasza i dostajemy P(2)=0,
ponadto z twierdzenia Bezouta mamy
P(t)=(t-2)(t^2+4t+7)=(t-2)((t+2)^2+3) i drugi czynnik jest dodatni dla każdego t \in \RR. Wniosek: x=2, c.k.d.

-- 6 gru 2016, o 14:18 --

Sorry, szybciej piszę niż myślę, coś poprawiłem...
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 6 gru 2016, o 17:15 
Użytkownik

Posty: 49
Lokalizacja: Łódź
dzięki
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 5 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 Znajdowanie okr. wyrazów w dwumiane Newtona  Kappurubea  1
 Rozkładanie wyrazów na czynniki  Embry  37
 wykonaj działania i przeprowadź redukcję wyrazów podobnych - zadanie 2  teequila  8
 Oblicz sumę kolejnych 100 wyrazów  Feynmann  1
 Potęgowanie 3 wyrazów  winfast29  2
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl