szukanie zaawansowane
 [ Posty: 5 ] 
Autor Wiadomość
Kobieta Offline
PostNapisane: 9 gru 2016, o 22:24 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 2780
Znaleźć wszystkie funkcje różniczkowalne f: \RR  \rightarrow \RR, które spełniają równanie funkcyjne: f(x+y)-f(x-y)=y f(x) dla x, y \in \RR.

Robie tak:
Różniczkuję po zmiennej x:
f'(x+y)-f'(x-y)=y f'(x)
Różniczkuję po zmiennej y:
f'(x+y)+f'(x-y)=f(x)

2f'(x+y)=yf'(x)+f(x)

Teraz podstawiam y=0 i mam 2f'(x)=f(x).

Co dalej z tym począć? Nie umiem rozwiązywać równań różniczkowych, więc muszę wymyślić coś innego. Kombinuje tak (wiedzą, że (\ln |f(x)|)'=\frac{f'(x)}{f(x)} otrzymuje: \frac{2f'(x)}{f(x)}=1 i po scałkowaniu \ln f(x)=\frac{1}{2}x+c, a następnie mam f(x)=e^{\frac{1}{2}x+c}.

To chyba nie może być dobrze, skoro odpowiedź do zadania podaje, że jedynym rozwiązaniem tego równania jest funkcja tożsamościowo równa zeru.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 9 gru 2016, o 22:37 
Gość Specjalny
Avatar użytkownika

Posty: 17855
Lokalizacja: Cieszyn
To równanie różniczkowe spełnia też funkcja zerowa. Funkcja wykładnicza nie spełnia zaś równania funkcyjnego. Rozwiązujesz metodą analizy starożytnych, więc potrzeba sprawdzenia.

Rozwiązanie równania różniczkowego: f(x)=Ce^{\frac{1}{2}x}, C\in\RR. Funkcja zerowa też tu pasuje.
Góra
Kobieta Offline
PostNapisane: 9 gru 2016, o 22:47 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 2780
Ok, dziękuje za bardzo trafną uwagę. Teraz wszystko okazuje się jasne.

Zastanawia mnie jednak fakt, w którym momencie mojego rozwiązania zaczyna się metoda analizy starożytnych. W tym miejscu wypadałoby skomentować, że tak właśnie się dzieje. Mamy wtedy więcej rozwiązań i na końcu trzeba jeszcze zweryfikować, które są poprawne.

Czy metoda starożytnych pojawia się w momencie całkowania?

Jak dowiedzieć się, że tylko funkcja zerowa spełnia to równanie? Jak podstawię funkcje wykładnicze w ogólnym zapisie Ce^{\frac{1}{2}x} to nie wyjdzie, tylko w przypadku, gdy stała C=0.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 9 gru 2016, o 22:52 
Gość Specjalny
Avatar użytkownika

Posty: 17855
Lokalizacja: Cieszyn
Jeśli f spełnia równanie, to... mamy jakiś związek na pochodną. Wynika z tego postać funkcji f. Dalej po podstawieniu do równania powinnaś otrzymać łatwo, że C=0, skąd dostaniesz funkcję zerową. Po sprawdzeniu funkcja ta spełnia równanie.

To jest analiza starożytnych.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 10 gru 2016, o 05:10 
Użytkownik

Posty: 13269
Lokalizacja: Bydgoszcz
Poszukujaca napisał(a):
Ok, dziękuje za bardzo trafną uwagę. Teraz wszystko okazuje się jasne.

Zastanawia mnie jednak fakt, w którym momencie mojego rozwiązania zaczyna się metoda analizy starożytnych. W tym miejscu wypadałoby skomentować, że tak właśnie się dzieje. Mamy wtedy więcej rozwiązań i na końcu trzeba jeszcze zweryfikować, które są poprawne.

Czy metoda starożytnych pojawia się w momencie całkowania?

Jak dowiedzieć się, że tylko funkcja zerowa spełnia to równanie? Jak podstawię funkcje wykładnicze w ogólnym zapisie Ce^{\frac{1}{2}x} to nie wyjdzie, tylko w przypadku, gdy stała C=0.


Zauważ, że w Twoim rozumowaniu część kroków nie musi być odwracalna. Wykorzystujesz implikacje a nie równoważności. Otrzymujesz więc warunki konieczne, ale nie dostateczne.
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 5 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 Rozwinąć funkcję w szereg Maclaurina - zadanie 9  Poszukujaca  9
 rozwinac funkcje w szereg Maclaurina - zadanie 3  Anka20  3
 Wyznacz funkcję graniczną, zbadaj charakter zbieżności ciągu - zadanie 2  laser15  1
 znaleźć jawną postać n-tego ciągu okr. wzorem rekurencyjnym  bassphunk  4
 Rozwiń funkcję w szereg Maclaurina  mrowcia  4
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl