szukanie zaawansowane
 [ Posty: 5 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 10 gru 2016, o 21:01 
Użytkownik

Posty: 10
Lokalizacja: Gliwice
Witam, mam za zadanie zbadać monotoniczność poniższego ciągu:

a_{1}=2
a_{n+1}= \frac{1}{2} a_{n}+1
Łatwo można się domyślić, iż jest to ciąg stały, ale mógłby ktoś pokazać uporządkowany dowód?

Próbowałem wykazać, że a_{n+1}-a_{n}=0, ale mi to nie wychodziło.

Proszę o pomoc.
Góra
Instytut Matematyczny, Uniwersytet Wrocławski
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 10 gru 2016, o 21:14 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 9017
Lokalizacja: Wrocław
Nie. Udowodnij indukcyjnie, że dla każdego n \in \NN^+ jest a_n=2.

Pierwszy krok indukcyjny jest trywialny, w drugim kroku indukcyjnym zapisz
a_{n+1}= \frac{1}{2}a_n+1 z zależności rekurencyjnej danej w treści i skorzystaj z założenia indukcyjnego.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 11 gru 2016, o 11:39 
Użytkownik

Posty: 10
Lokalizacja: Gliwice
Dziękuję.

Niestety ze szkół wyrzucili indukcję matematyczną...

Wszystkie dowody musimy robić na "czuja".

Postawiłem tezę, że monotoniczność tego ciągu jest stała, czyli musi zachodzić równość a_{n+1}=a_{n}

Z tego wyliczyłem, że \bigwedge n \in  N_{+} zachodzi a_{n}=2  \Rightarrow ciąg jest stały.

Czy o to chodziło?
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 11 gru 2016, o 11:56 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 9017
Lokalizacja: Wrocław
To faktycznie słabo, bo indukcja to jedno z najużyteczniejszych narzędzi w matematyce.

Ale przecież gdy stawiasz tezę, to musisz ją uzasadnić, a z tego, co napisałeś, wynika, że stawiasz pewną tezę, a dalej z niej korzystasz bez dowodu - tak nie wolno. Chyba że źle zinterpretowałem Twoją wypowiedź.

-- 11 gru 2016, o 11:02 --

Ja mam taką propozycję: wprowadź ciąg pomocniczy b_n=a_{n+1}-a_n.
Wtedy dla n\ge 2 mamy:
a_{n+1}= \frac{1}{2}a_n+1\\a_n=\frac 1 2 a_{n-1}+1\\b_n=\frac12 (a_{n}-a_{n-1})\\b_n=\frac 12b_{n-1}.
Zatem ciąg b_n jest geometryczny. Ponadto b_1=0, więc...
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 11 gru 2016, o 14:09 
Użytkownik

Posty: 10
Lokalizacja: Gliwice
Dziękuję za to rozwiązanie, tak to lepiej rozumiem.
Myślę, że chyba warto samemu przed maturą trochę posiedzieć przy indukcji matematycznej...
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 5 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 monotoniczność ciągu rekurencyjnego  Linka87  3
 monotoniczność ciągu rekurencyjnego - zadanie 2  adacho90  1
 Monotoniczność ciągu rekurencyjnego - zadanie 3  Hendra  6
 Zbieznasc punktowa ciagu  marcin-tryka  1
 jak wyznaczyc obszar zmiennosci ciagu funkcyjnego??  mikosbartek  0
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) ParaRent.com