szukanie zaawansowane
 [ Posty: 2 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna Offline
 Tytuł: Gra Dobble
PostNapisane: 11 gru 2016, o 21:41 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 689
Lokalizacja: Bielsko - Biała
Jest taka gra towarzyska, "Dobble" (http://www.rebel.pl/repository/files/in ... Dobble.pdf).

Mam pewien problem związany z tą grą:

Mamy zbiór 50 różnych symboli. Symbole umieszczane są na kartach.
Na każdej karcie znajduje się dokładnie 8 różnych symboli.
Każde dwie karty posiadają dokładnie 1 wspólny symbol.
Jaka jest największa możliwa liczba kart w talii?
Góra
Mężczyzna Offline
 Tytuł: Gra Dobble
PostNapisane: 12 gru 2016, o 15:10 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 3273
Lokalizacja: blisko
Tu się wydaje, że trzeba skorzystać z zasady włączania i wyłączania.

Załóżmy , że kart jest - x

każda para ma część wspólną czyli:

{x \choose 2}

symboli jest 50

a na karcie jednej jest 8 symboli , więc:

8x- {x \choose 2} +k=50 - tu zliczam symbole

k - to według mnie ta reszta, która spaja identycznym symbolem trzy lub więcej kart.

Najgorzej oszacować k


zauważmy, że:

k \le  {x \choose 3} - {x \choose 4} +... \pm  {x \choose x}

ale:

- {x \choose 0} + {x \choose 1} - {x \choose 2}+ {x \choose 3} - {x \choose 4} +... \pm  {x \choose x}=0

znaczy, że:


k \le  {x \choose 0} - {x \choose 1} + {x \choose 2}

k \le  \frac{x^2-3x}{2}+1

prześledźmy to na przykładzie:

weźmy taki przykład w którym na każdej karcie jest tylko jeden wspólny symbol np 1

Symboli jest 50

czyli część wspólna każdych dwóch kart to 1

wszystkich kart jest 7

bo:

7 \cdot 7+1=50

wróćmy z tym do naszego wzoru:

x=7,

natomiast k będzie równe:

k= {7 \choose 3} - {7 \choose 4}+ {7 \choose 5}- {7 \choose 6}+ {7 \choose 7}= 15

wzór:

(1) 8x-  {x \choose 2} +k=50

podstawmy za x=7, k=15

otrzymamy:

8 \cdot 7- {7 \choose 2}+15=50

co zresztą się zgadza

zapiszmy jeszcze (1) w prostszej wersji:

x^2-17x+100-2k=0

\Delta=8k-111 \ge 0

czyli:

k \ge 13 \frac{7}{8} \approx 14

czyli:

k \ge 14

oraz delta musi być kwadratem liczby całkowitej

są rozwiązanie dla np: k=14 , 15 , 20

np dlak=20:

x=5,12

ale jeżeli x=5, k=20

to jeszcze musi być spełnione:

20 \le  \frac{1}{2}5^2- \frac{3}{2} \cdot 5 +1=6

co nie jest spełnione,

ale dla:

k=20, x=12 jest spełnione

I tak można się bawić...

-- 14 grudnia 2016, 01:50 --

A i jeszcze jedno łatwo zauważyć, że:

{x \choose 2} \le 50

co daje:

x \le 8
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 2 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 Geometria rzutowa, gra Dobble  whocares  0
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl