szukanie zaawansowane
 [ Posty: 7 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 12 gru 2016, o 09:43 
Gość Specjalny
Avatar użytkownika

Posty: 12735
Lokalizacja: Kraków
Korzystając z odpowiednich podobieństw na trójkącie prostokątnym (ustalamy, że a<b<c ) można pokazać, że

(1)\qquad \frac{abc}{a^2+b^2}=\frac{a}{c}\sqrt{c^2-a^2}

(2)\qquad \frac{abc}{a^2+b^2}=\frac{b}{c}\sqrt{c^2-b^2}

(3)\qquad \frac{a(c^2-a^2)}{bc}=\frac{b}{c}\sqrt{c^2-b^2}

(4)\qquad \frac{b(c^2-b^2)}{ac}=\frac{a}{c}\sqrt{c^2-a^2}

Oczywiście jeżeli wiemy, że a^2+b^2=c^2, to wszystkie strony wszystkich wyrażeń redukują się do \frac{ab}{c}.

Moje pytanie dotyczy odwrotnego zagadnienia. Wiemy, że zachodzi dana równość. Czy można ją przekształcić tak, aby otrzymać równanie Pitagorasa?

Dla ścisłości - nie mamy żadnej innej informacji (innego związku między długościami boków) poza danym równaniem.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 12 gru 2016, o 13:47 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 1461
Lokalizacja: Katowice
w pierwszym kontrprzykładem jest np. a=420, b=441, c=580, a w drugim a=9, b=12, c=20
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 12 gru 2016, o 16:36 
Gość Specjalny
Avatar użytkownika

Posty: 12735
Lokalizacja: Kraków
timon92, coś jest nie tak z tymi liczbami:

a=420, b=441, c=580:
http://www.wolframalpha.com/input/?i=580*441*420%2F(420%5E2%2B441%5E2)%3D420%2F580+*+(580%5E2-420%5E2)%5E(1%2F2)

a=9, b=12, c=20:
http://www.wolframalpha.com/input/?i=9*12*20%2F(9%5E2%2B12%5E2)%3D12%2F20+*(20%5E2-12%5E2)%5E(1%2F2)

Dzięki mimo wszystko za próbę - gdyby to zadziałało, byłbym bardzo zawiedziony ale i zadowolony jednocześnie.

edit: Liczby działają (i pokazują, co trzeba), więc dalszy komentarz (pozostawiony bez odpowiedzi) skasowałem.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 12 gru 2016, o 16:40 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 1461
Lokalizacja: Katowice
wszystko jest ok - równości są spełnione, a trójkąty o tych bokach prostokątne nie są
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 12 gru 2016, o 16:51 
Gość Specjalny
Avatar użytkownika

Posty: 12735
Lokalizacja: Kraków
Ach, racja! Zamieniłem kota na psa i wyszło masło.

Równania niosą więc istotnie za mało informacji, by wywnioskować z nich równanie Pitagorasa. Dzięki.

Czy wspomniane trójki otrzymałeś brut forcem, czy była za tym jakaś metodologia?
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 12 gru 2016, o 17:07 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 1461
Lokalizacja: Katowice
skwadratowałem, wymnożyłem, przekształciłem, rozłożyłem - w pierwszym wychodzi (c^2-a^2-b^2)\left(c^2-\frac{a^2(a^2+b^2)}{b^2}\right)=0

w tym momencie wystarczy podstawić za a i b cokolwiek, byle tylko \frac{a^2(a^2+b^2)}{b^2} > b^2, a następnie położyć c = \frac ab \sqrt{a^2+b^2}

konkretne liczby uzyskałem sprawdzając różne trójki pitagorejskie (żeby c wyszło ładne)

nad trzecim i czwartym nie myślałem, ale podobna metoda doprowadzi do rozwiązania - po skwadratowaniu dostajemy równanie kwadratowe zmiennej c^2, którego jednym z pierwiastków jest a^2+b^2, a drugim (prawdopodobnie) coś innego - trzeba zbadać, czy ten drugi pierwiastek nie stoi w sprzeczności z założeniami a<b<c<a+b
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 13 gru 2016, o 07:40 
Gość Specjalny
Avatar użytkownika

Posty: 12735
Lokalizacja: Kraków
Dzięki za komentarz.

Wczoraj po napisaniu ostatniego posta siadłem raz jeszcze i otrzymałem podobne rezultaty nieco inną drogą - w (1) i (2) można zauważyć, że są to równania kwadratowe względem b oraz, w drugim równaniu:

a=\frac{\frac{c^2}{\sqrt{c^2-b^2}}\pm \sqrt{\frac{c^4}{c^2-b^2}-4b^2}}{2}

i tylko jeden z pierwiastków powyższego równania przynależy do trójki pitagorejskiej. Ten drugi nie i stanowi kontrprzykład. Wziąłem więc c=5, b=3 (b=4 nie dawało a<b) i otrzymałem a=2.25, co pokrywa się z Twoim przykładem z dokładnością do podobieństwa trójkąta.

Nie jest to może metoda efektywna (sprawna), ale wczoraj działała :)

W (3) i (4) również zauważyłem opisaną przez Ciebie zależność, ale zajmę się nimi nieco później.
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 7 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 tożsamości trygonometryczne - zadanie 39  e1nzelstuck  1
 Łatwe dowody twierdzenia pitagorasa  michal_145  11
 Poszukiwane ciekawe twierdzenia i zależności w trójkącie.  I3artko  3
 Twierdzenia cos, trójkąt  izak110  1
 zastosowanie twierdzenia Pitagorasa - zadanie 5  Alex-xy  2
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl