szukanie zaawansowane
 [ Posty: 13 ] 
Autor Wiadomość
Kobieta Offline
PostNapisane: 16 gru 2016, o 18:41 
Użytkownik

Posty: 103
Lokalizacja: Toruń
Mam taki ciąg:
f_{n}(x)=\frac{x^{2}}{x^{2}+(nx-1)^{2}}

Wiem, że jego granica punktowa, jest funkcją stale przyjmującą wartość 0.
Czy teraz, żeby sprawdzić zbieżność jednostajną, muszę znaleźć ekstrema tej funkcji?
Góra
Instytut Matematyczny, Uniwersytet Wrocławski
Mężczyzna Online
PostNapisane: 16 gru 2016, o 18:46 
Użytkownik

Posty: 9353
Lokalizacja: Wrocław
Możesz tak zrobić.
Góra
Kobieta Offline
PostNapisane: 16 gru 2016, o 18:55 
Użytkownik

Posty: 103
Lokalizacja: Toruń
Pochodna wyszła mi, że ekstremum lokalne znajduje się w x=\frac{1}{n}
Czy wiedząc, że funkcja posiada ekstremum w tym punkcie oraz, że od 0 do 1/n rośnie mogę napisać, że:

||f_{n}(x) - 0|| = f_{n}(\frac{1}{n}) = \frac{\frac{1}{n^{2}}}{\frac{1}{n^{2}}} = 1
a to nie zbiega do 0, czyli nie ma zbieżności jednostajnej...
czy taki zapis jest w pełni poprawny?
Góra
Mężczyzna Online
PostNapisane: 16 gru 2016, o 18:58 
Użytkownik

Posty: 9353
Lokalizacja: Wrocław
Zakładając, że \|  \cdot \| oznacza normę supremum - tak.
Góra
Kobieta Offline
PostNapisane: 16 gru 2016, o 19:25 
Użytkownik

Posty: 103
Lokalizacja: Toruń
A mając taki przykład:
x \in \mathbb{R}
f_{n}=\arctan \frac{2x}{x^{2}+n^{3}}

Granica punktowa, to 0... ale tą metodą co robiłam wcześniej nie wyjdzie... Jak w tej sytuacji zacząć badać zbieżność jednostajną?
Góra
Mężczyzna Online
PostNapisane: 16 gru 2016, o 19:42 
Użytkownik

Posty: 9353
Lokalizacja: Wrocław
Mamy taką znaną nierówność: \tg t\ge t dla t \in \left( 0, \frac \pi 2\right). Proponowałbym pomyśleć, czy w związku z tym prawdą nie jest coś takiego:
|\arctg t| \le |t|

Jeżeli tak, to prawdziwa jest następująca nierówność:
\left| f_n(x)\right| \le  \frac{2|x|}{x^2+n^3}, a z szacowaniem tego już łatwiej sobie poradzić.

Poza tym poprzednią metodą też by wyszło.
Góra
Kobieta Offline
PostNapisane: 16 gru 2016, o 20:05 
Użytkownik

Posty: 103
Lokalizacja: Toruń
|\arctg t| \le |t|
czy tą nierówność, wykazuje się bezpośrednio z definicji arctg + definicji wartości odwrotnej?
Góra
Mężczyzna Online
PostNapisane: 16 gru 2016, o 23:31 
Użytkownik

Posty: 9353
Lokalizacja: Wrocław
Można tak zrobić.

Alternatywna droga jest taka: określamy sobie funkcję f(t)=t-\arctg t, zauważamy, że f jest nieparzysta jako różnica funkcji nieparzystych, a ponadto
f(0)=0 i f'(t)=1- \frac{1}{1+t^2}>1-1=0, zatem np. f jest rosnąca w dodatnich, tj.
dla t>0 mamy f(t)>0, czyli t>\arctan t. Z nieparzystości funkcji f widzimy, że dla t<0 jest f(t)<0, a więc wówczas
-\arctan t=|\arctan t|<-t=|t|
(zarówno g(t)=t, jak i h(t)=\arctan t są ujemne dla t<0, więc gdy t<0, to |t|=-t i |\arctan t|=-t).
Góra
Kobieta Offline
PostNapisane: 18 gru 2016, o 20:34 
Użytkownik

Posty: 103
Lokalizacja: Toruń
A mając taki przykład:

f_{n}(x)=n ln(1+\frac{x^{2}}{n})

granica punktowa wynosi x^{2}

jak zabrać się za granicę jednostajną... wspomnę, że rozpatrujemy to dla l. rzeczywistych
Góra
Mężczyzna Online
PostNapisane: 18 gru 2016, o 20:39 
Użytkownik

Posty: 9353
Lokalizacja: Wrocław
Można tak samo, na pałę: ustalmy chwilowo n\in \NN
i szukamy \sup_{x \in \RR}\left| f_n(x)-x^2\right|
Oczywiście z nierówności \ln(1+t)\le t dla t\ge 0 wynika, że
\left| f_n(x)-x^2\right|=x^2-f_n(x)=x^2-n\ln\left( 1+ \frac{x^2}{n} \right).
Liczysz pochodną i tak dalej...
Góra
Kobieta Offline
PostNapisane: 20 gru 2016, o 17:28 
Użytkownik

Posty: 103
Lokalizacja: Toruń
Na kolokwium pojawił mi się taki ciąg:

f_{n}=\frac{x}{nx^{2}+1}

dla przedziałów: A=[1; \infty ) oraz A=[0;1]
w obu przypadkach wyszła mi zbieżność jednostajna, czy dobrze?
Góra
Mężczyzna Online
PostNapisane: 20 gru 2016, o 17:47 
Użytkownik

Posty: 9353
Lokalizacja: Wrocław
Sama odpowiedź OK, ale liczy się rozwiązanie.
Góra
Kobieta Offline
PostNapisane: 20 gru 2016, o 17:57 
Użytkownik

Posty: 103
Lokalizacja: Toruń
Wiem, mam nadzieję, że mi zaliczy, ale jeśli doszłam do poprawnej, to jest nadzieja :)
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 13 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 Zbieznasc punktowa ciagu  marcin-tryka  1
 Zbadaj zbieżność szeregu...  mm34639  3
 Zbieznosc szeregu potegowego  haxo  5
 Zbieznosc szeregu funkcyjnego  Gnomek  0
 Zbieżność jednostajna szeregu  kej.ef  0
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl