szukanie zaawansowane
 [ Posty: 8 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 17 gru 2016, o 12:47 
Użytkownik

Posty: 79
Niech x i y będą nieujemnymi liczbami rzeczywistymi, takimi że x \ge y. Wykazać, że zachodzi nierówność x^4+y^4 \ge 2xy^3.

Zał.: x \ge y

x^4+y^4 \ge 2xy^3 \\
x^4-xy^3+y^4-xy^3 \ge 0 \\
x(x^3-y^3)+y^3(y-x) \ge 0 \\
x((x-y)(x^2+xy+y^2))-y^3(x-y) \ge 0 \\
(x-y)(x^3+x^2y+xy^2-y^3) \ge 0 \\
(x-y)((x-y)(x^2+xy+y^2)+x^2y+xy^2) \ge 0

x \ge y, więc ostatnia nierówność przyjmuje wartość zero lub większą. Teza została przekształcona równoważnie, zatem jest prawdziwa.

Wszystko się zgadza?
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 17 gru 2016, o 14:23 
Administrator

Posty: 20867
Lokalizacja: Wrocław
A dlaczego "ostatnia nierówność przyjmuje wartość zero lub większą" ? Pierwszy czynnik jest nieujemny, a dlaczego drugi też?

JK
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 17 gru 2016, o 17:23 
Użytkownik

Posty: 79
x \ge y \ge 0, więc czynnik x-y przyjmuje wartość dodatnią. Drugi czynnik też przyjmuje wartość dodatnią, bo mamy x-y (wyr. dodatnie) i x^2+xy+y^2 (wyr. dodatnie), ponieważ x^2 będzie dodatnie, xy będzie nieujemne i y^2 nieujemne. xy^2 przyjmuje wartość nieujemną.

Mam pytanie, bo nie widzę jak to działanie może być kiedykolwiek równe 0?
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 17 gru 2016, o 17:51 
Użytkownik

Posty: 41
Lokalizacja: Wyszków
Dla x=y
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 17 gru 2016, o 17:57 
Użytkownik

Posty: 79
Racja, więc:

x \ge y \ge 0, więc czynnik x-y przyjmuje wartość nieujemną. Drugi czynnik też przyjmuje wartość nieujemną, bo mamy x-y (wyr. nieujemne) i x^2+xy+y^2 (wyr. nieujemne), ponieważ x^2 będzie nieujemne, xy będzie nieujemne i y^2 nieujemne. xy^2 i x^2y przyjmują wartość nieujemną.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 17 gru 2016, o 18:34 
Użytkownik

Posty: 12917
Lokalizacja: Bydgoszcz
A jak ci wyszło to ostatnie przejście?
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 17 gru 2016, o 18:54 
Użytkownik

Posty: 79
(x-y)(x^3+x^2y+xy^2-y^3) \ge 0 \\ 
(x-y)((x^3-y^3)+x^2y+xy^2) \ge 0 \\
(x-y)((x-y)(x^2+xy+y^2)+x^2y+xy^2) \ge 0

Literówkę zrobiłem zamiast x^2y, napisałem x^2.

-- 20 gru 2016, o 17:49 --

Wydaje mi się, że teraz wszystko jest poprawne, ale wolę się upewnić, czy nikt nie ma zastrzeżeń.
Góra
Kobieta Offline
PostNapisane: 20 gru 2016, o 20:37 
Użytkownik

Posty: 1260
Dobrze przekształciłeś. Tak też by można: x^4+3y^4\ge 4xy^3\ge 2xy^3+2y^4
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 8 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 Poprawność dowodu - zadanie 2  ceanseer  25
 Poprawność dowodu - zadanie 3  ceanseer  3
 Poprawność dowodu  romen  3
 Poprawnosc rownosci  Hołek  1
 Poprawność przekształceń.  lukaszml  16
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl