szukanie zaawansowane
 [ Posty: 3 ] 
Autor Wiadomość
Kobieta Offline
PostNapisane: 22 gru 2016, o 20:12 
Użytkownik

Posty: 124
Lokalizacja: Yakushima
Długość promienia okręgu wpisanego w trójkąt, którego długości wszystkich boków są liczbami
naturalnymi jest równa 1. Wykaż, że długości boków tego trójkąta wynoszą 3, 4 i 5.
Uniwersytet Wrocławski Instytut Matematyczny - rekrutacja 2018
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 22 gru 2016, o 22:04 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 6194
Niech bokami szukanego trójkąta będą:
a \le b \le c

1.
Najkrótszy bok trójkąta musi być większy od 2r czyli a>2
2.
Trójkąt równoboczny o okręgu wpisanym którego promień to 1 ma bok równy 2 \sqrt{3} \approx 3,46. Najkrótszy bok szukanego trójkąta nie może być od niego większy. Stąd, i z pkt. 1. mam: a=3
3.
Z warunku wpisania:
b=p+x \wedge  c=p+y \wedge a=3=x+y
wynika że należy sprawdzić trzy rodziny możliwych trójkątów o bokach :
a)
3,n,n
b)
3,n,n+1
c)
3,n,n+2

Przypadek a) jest prosty. Zastanów się jak sprawdzić b) lub c).

Edit
Jak teraz o tym myślę to każdy z przypadków można sprawdzić tak samo przez porównanie pól :
\frac{1}{2}bc\sin \alpha = \frac{1}{2} \cdot 1 \cdot (3+b+c)\\
 \frac{1}{2}bc \cdot 2\sin \frac{ \alpha }{2} \cos \frac{ \alpha }{2}=\frac{1}{2} (3+b+c)
co prowadzi do rozwiązania równania:
a)
\frac{1}{2}n \cdot n \cdot 2 \frac{ 1 }{ \sqrt{(n- \frac{3}{2} )^2+1} }  \cdot \frac{ n- \frac{3}{2}  }{ \sqrt{(n- \frac{3}{2} )^2+1} }=\frac{1}{2} (3+n+n)
b)
\frac{1}{2}n \cdot (n+1) \cdot 2 \frac{ 1 }{ \sqrt{(n- 1 )^2+1} }  \cdot \frac{ n- 1  }{ \sqrt{(n- 1 )^2+1} }=\frac{1}{2} (3+n+n+1)
c)
\frac{1}{2}n \cdot (n+2) \cdot 2 \frac{ 1 }{ \sqrt{(n- \frac{1}{2} )^2+1} }  \cdot \frac{ n- \frac{1}{2}  }{ \sqrt{(n- \frac{1}{2} )^2+1} }=\frac{1}{2} (3+n+n+2)
Góra
Kobieta Offline
PostNapisane: 23 gru 2016, o 04:26 
Użytkownik

Posty: 1338
Dla trójkąta o bokach a,b,c, przekształciwszy r=\frac{S}{p}, gdzie r=1,\ S=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)},\ 2p=a+b+c, mamy do rozwiązania równanie p=(p-a)(p-b)(p-c)\ (*).

Stosując podstawienie Raviego (to z odcinków, na jakie dzielą boki trójkąta punkty styczności z okręgiem wpisanym): a=x+y,\ b=x+z,\ c=y+z, otrzymujemy równoważną postać równania (*): xyz=x+y+z\ (**).

Przyjmując x\ge y\ge z otrzymujemy 3x\ge x+y+z=xyz, stąd 3\ge yz\ge z^2, więc z=1,\ 3\ge y\ge 1. Po podstawieniu z=1 do (**) mamy x=\frac{y+1}{y-1} i dwie wartości igreka do sprawdzenia.

-- 23 grudnia 2016, 23:35 --

W powyższym chyba nieoczywiste jest, że x, y, z są naturalne. Inaczej: oznaczmy t=a+b-c,\ u=a+c-b,\ v=b+c-a. Wtedy do rozwiązania jest tuv=4(t+u+v)\ (***). Ale a=\frac{t+u}{2},\ b=\frac{t+v}{2},\ c=\frac{u+v}{2}, więc t, u, v są jednakowej parzystości. Nie mogą być jednak nieparzyste, bo mielibyśmy niejednakową parzystość stron w (***). Biorąc t=2x,\ u=2y,\ v=2z i wystawiając do (***) otrzymujemy (**).
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 3 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 Okrąg wpisany w trójkąt - zadanie 65  Filip46  1
 okrag wpisany w trojkat - zadanie 6  mokasyn15  9
 Okrąg wpisany w trójkąt - zadanie 61  mat_fiz  1
 okrąg wpisany w trójkąt - zadanie 40  jmkpc  2
 okrąg wpisany w trójkąt  rafalp9  2
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl