szukanie zaawansowane
 [ Posty: 5 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 28 gru 2016, o 23:20 
Użytkownik

Posty: 50
Lokalizacja: ~Poznań
W parku jest 10 ławek. Każda z nich zostanie pomalowana na jeden z trzech kolorów. Wiedząc, że każdy kolor zostanie wykorzystany co najmniej raz, oblicz, na ile sposobów można pomalować te ławki.
Uniwersytet Wrocławski Instytut Matematyczny - rekrutacja 2018
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 29 gru 2016, o 00:09 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 3272
Lokalizacja: blisko
Suriekcje ławek w kolory
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 29 gru 2016, o 00:41 
Użytkownik

Posty: 50
Lokalizacja: ~Poznań
W liceum na poziomie rozszerzonym nie ma suriekcji (aczkolwiek chętnie zgłębię temat).
Pokażę podręcznikowe rozwiązanie i to, czego nie rozumiem.
Wszystkie ławki można pomalować na 3^{10} sposobów.
Odrzucamy 3 sposoby, ponieważ każdy kolor ma być wykorzystany co najmniej raz.
{3 \choose 2}  \cdot (2 ^{10} - 2) to liczba sposobów na które pomalowano by ławki z użyciem tylko dwóch kolorów.
Następnie od wszystkich możliwości odejmujemy dwa wcześniej opisane przypadki i otrzymujemy wynik 55980

Moje pytanie brzmi skąd wzięła się całe wyrażenie {3 \choose 2}  \cdot (2 ^{10} - 2). Tak jak symbol Newtona intuicyjnie wiem skąd się wziął, i ewentualnie to 2^{10}, to za nic w świecie nie wiem skąd tam ta dwójka.

@edit: oczywiście chodziło o symbol Newtona a nie dwumian.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 29 gru 2016, o 01:05 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 12431
Lokalizacja: czasem Warschau, czasem Breslau
{3 \choose 2} \cdot (2 ^{10} - 2) to liczba malowań (istnieje w ogóle takie słowo? :))
za pomocą dokładnie dwóch kolorów (tj. że dokładnie dwa kolory zostaną użyte):
na {3 \choose 2} sposobów wybieramy dwa spośród trzech kolorów, których użyjemy do pomalowania ławek, następnie zaś patrzymy tak:
dla każdej z 10 ławek przy wybranych dwóch kolorach mamy dwie możliwości pomalowania (albo jednym, albo drugim kolorem), więc przy wybranych dwóch kolorach jest 2^{10} możliwości pomalowania wszystkich (reguła mnożenia, czy coś tam takiego) - odejmujemy od tego dwie możliwości: takie, że wszystkie ławki pomalowano na ten sam kolor (albo wszystkie na jeden, albo wszystkie na ten drugi).

Czyli odpowiedź to 3^{10}-{3 \choose 2}(2^{10}-2)-3=55980
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 29 gru 2016, o 01:29 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 3272
Lokalizacja: blisko
Cytuj:
W liceum na poziomie rozszerzonym nie ma suriekcji (aczkolwiek chętnie zgłębię temat).


Niech minister od oświaty i kultury wstawi suriekcje w program.
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 5 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 Trójkąt i kolory  mol_ksiazkowy  2
 [Teoria grafów] Ilość kolorowań siedmiokąta, trzy kolory  matinf  0
 Malowanie boków kwadratu, cztery kolory.  tpokala  1
 kazda kostka  Manio0017  1
 srednie minimum  mol_ksiazkowy  4
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl