szukanie zaawansowane
 [ Posty: 3 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 29 gru 2016, o 21:51 
Użytkownik

Posty: 1
Lokalizacja: Lublin
Dobry wieczór!
Mam problem z wyznaczeniem wzoru jawnego a_{n} przy założeniach:
\begin{cases} a_{0}=5 \\ a_{1}=16 \\ a_{n}= 4a_{n-1} - 4a_{n-2}+4^{n}&\text {dla } n>1  \end{cases}
Zacząłem od wyznaczenia rozwiązania ogólnego równania jednorodnego i wyszło mi:
a^{o} _{n} = C_{1} \times 2^{n} + C_{2} \times 2^{n} co chyba jest nieprawidłowe.
Następnie wyznaczyłem rozwiązanie szczególne równania niejednorodnego, z którego wychodzi mi:
a^{s} _{n} = 4^{n+1}
Potem chciałem z własności a_{n}=a^{o} _{n}+a^{s} _{n} i warunków początkowych wyliczyć stałe C_{1} i C_{2} jednak układ równań wychodzi mi sprzeczny.
Wynik to: a _{n}=(1-n)2^{n} + 4^{n+1}
Prosiłbym o pomoc w tym zadaniu.
Pozdrawiam.
Góra
Instytut Matematyczny, Uniwersytet Wrocławski
Mężczyzna Online
PostNapisane: 29 gru 2016, o 23:36 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 2667
Lokalizacja: blisko
https://www.matematyka.pl/415626.htm
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 31 gru 2016, o 15:53 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 6408
Lokalizacja: 53°02'N 18°35'E
Tak równanie jednorodne jest źle rozwiązane ja podobnie jak arek1357,
uważam że funkcje tworzące są wygodniejsze (tutaj wystarczy zwykła funkcja tworząca)

Tak na marginesie skoro funkcja A\left( x\right)= \sum_{n=0}^{ \infty }{\frac{a_{n}}{n!}x^n} nazywa się wykładniczą funkcją tworzącą to czemu funkcja A\left( x\right)= \sum_{n=0}^{ \infty }{a_{n}x^{n}} nie nazywa się geometryczną funkcją tworzącą


Skoro chcesz dziwacznymi metodami to przekształć jednorodne w układ równań
i znajdź wartości i wektory własne a następnie policz x_{n}=A^{n}x_{0}

Niech
\left( A-\lambda I\right)^{k}x_{0}=0
k krotność wartości własnej

A^{n}x_{0}=\left( \lambda I+\left( A-\lambda I\right) \right)^{n}x_{0}

Wzór Newtona działa gdy mnożenie macierzy jest przemienne
Tutaj akurat mamy taki przypadek
Rozwiązanie szczególne równania niejednorodnego można znaleźć uzmienniając stałe
Liczymy Casoratian , rozwiązujemy układ równań , sumujemy rozwiązanie tego układu
Wstawiamy do postaci rozwiązania które jest w postaci sumy

a_{s}=\sum_{k=1}^{n}{C_{k}\left( n\right)A_{k}\left( n\right)  }

C_{k}\left( n\right), k=1\ldots n funkcje znalezione podczas uzmienniania stałych
A_{k}\left( n\right), k=1\ldots n niezależne funkcje będące rozwiązaniem równania jednorodnego
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 3 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 [kombinatoryka] uzasadnić wzór  qaz  1
 wzór jawny rekurencja liniowa  Kucha1122  1
 wzór jawny i indukcyjna poprawnosc  barcelonismo  13
 Wzór ogólny ciągu zdefiniowanego rekurencyjnie  Przemmek  3
 wzor jawny - zadanie 5  Gogeta  3
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) ParaRent.com