szukanie zaawansowane
 [ Posty: 3 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 30 gru 2016, o 01:36 
Użytkownik

Posty: 57
Lokalizacja: Rzeszów
Zadanie ze zbiorku ''Matura z matematyki 2005-...''

W ostrosłupie prawidłowym czworokątnym poprowadzono płaszczyznę przez przekątną podstawy i środek krawędzi bocznej rozłącznej z tą przekątną. Płaszczyzna ta tworzy z płaszczyzną podstawy kąt \alpha , a pole otrzymanego przekroju jest równe P. Oblicz objętość ostrosłupa.

Zadanie już zrobiłem, aczkolwiek wydaje mi się że w niezbyt zgrabny sposób bo z wykorzystaniem funkcji kwadratowej (człowiek z liceum wyjdzie, liceum z człowieka nie :D). Ma ktoś pomysł na ciekawsze/zgrabniejsze rozwiązanie?

Obrazek

Moje wyglądało tak:

H - wysokość ostrosłupa
h - wysokość przekroju
a, b - krawędź podstawy, krawędź boczna

Obrazek

Z tego trójkąta mamy h= \frac{H}{2\sin(\alpha)}

Z treści zadania h= \sqrt{2} \frac{P}{a}

Czyli H=2 \sqrt{2}\sin(\alpha) \frac{P}{a}

Teraz porównując wzory b^{2} = H^{2} +  \frac{ a^{2} }{2} i \frac{ b^{2} }{4}=h^{2} +  \frac{a^{2}}{2} -2\cos(\alpha) \frac{ \sqrt{2} }{2} ah (kolejno Pitagoras, tw. cosinusów) wychodzi funkcja dwukwadratowa z której dostaje się a uzależnione od P i to już wystarcza. Sorki, że tak chaotycznie ale nie chodzi mi o sprawdzenie rozwiązania tylko o to jak zrobić to prościej. Z góry dziękuje jak komuś się będzie chciało spróbować :D

Odpowiedź to \frac{4}{3} \sqrt{ P^{3} }\sin(\alpha) \sqrt{2\cos(\alpha)}
Góra
Instytut Matematyczny, Uniwersytet Wrocławski
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 30 gru 2016, o 09:18 
Użytkownik

Posty: 4807
Skorzystam z Twojego rysunku:

Obrazek

Podstawą tego trójkąta jest \frac{1}{2}a \sqrt{2} którą połowa wysokości ostrosłupa dzieli na dwie równe części. Stąd związki:
1)
\tan \alpha = \frac{ \frac{H}{2} }{ \frac{a \sqrt{2} }{4} }  \Rightarrow H= \frac{a \sqrt{2} \tan \alpha }{2}
2)
\cos \alpha = \frac{ \frac{a \sqrt{2} }{4}}{h} \Rightarrow h= \frac{a \sqrt{2} }{4\cos \alpha }
3)
P= \frac{1}{2}a \sqrt{2}h= \frac{1}{2}a \sqrt{2}\frac{a \sqrt{2} }{4\cos \alpha }= \frac{a^2  }{4\cos \alpha }\\
a=2 \sqrt{P\cos \alpha }

V= \frac{1}{3}a^2H= \frac{1}{3}\frac{a^3 \sqrt{2} \tan \alpha }{2}= \frac{1}{3}\frac{(2 \sqrt{P\cos \alpha } )^3 \sqrt{2} \tan \alpha }{2}= \frac{4}{3} P\sin \alpha \sqrt{2P\cos \alpha}

Rozwiązanie jest podobne. Zyskiem jest korzystanie z prostszych związków oraz pominięcie w obliczeniach krawędzi b.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 30 gru 2016, o 11:34 
Użytkownik

Posty: 57
Lokalizacja: Rzeszów
Właśnie o coś takiego mi chodziło, dzięki :D Jakoś nie mogłem tego dokończyć w taki sposób i wyszło znacznie więcej niepotrzebnej gimnastyki.
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 3 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 przekrój sześcianu - zadanie 4  nina90  1
 Kąty w ostrosłupie (łatwe)  animashi  1
 Płaszczyzna w ostrosłupie - zadanie 2  barman  1
 Obliczanie kątów w ostrosłupie  kubas5  1
 Wyznaczanie kątów w prostopadłościanie i ostrosłupie  Bartolinho10  4
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) ParaRent.com