szukanie zaawansowane
 [ Posty: 4 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 31 gru 2016, o 16:33 
Użytkownik

Posty: 5411
Lokalizacja: Kraków
Która liczba jest większa
a=\frac{3^{2016}+ 3^{2017}+…+ 3^{2099}+2016}{ 3^{2017}+ 3^{2018}+…+ 3^{2100}+2016 }

Czy

b=\frac{3^{2015}+ 3^{2016}+…+ 3^{2098}+2016}{ 3^{2016}+ 3^{2017}+…+ 3^{2099}+2016 }

?
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 31 gru 2016, o 17:03 
Gość Specjalny
Avatar użytkownika

Posty: 17594
Lokalizacja: Cieszyn
Ciągi geometryczne mają tyle samo wyrazów. Można więc łatwo zapisać sumy tych ciągów. Po zapisaniu \frac{a}{b} w tej postaci i wymnożeniu nawiasów możemy porównać licznik z mianownikiem, co sprowadza się do porównania liczb 3^{2016} (licznik) oraz \frac{3^{2015}+3^{2017}}{2} (mianownik). Dzieląc przez 3^{2015} mamy zwyczajne porównanie liczb 3 oraz 5. Tak więc licznik jest mniejszy niż mianownik, dlatego a<b.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 31 gru 2016, o 17:38 
Użytkownik

Posty: 12582
Lokalizacja: Bydgoszcz
Niech f(x)=\frac{ax+b}{3ax+b}, gdzie a=\sum_{i=0}^{2083}3^i, \ b=2016

Wtedy a=f\left(3^{2016}\right), \ b=f\left(3^{2015}\right)

f(x)=\frac{1}{3}\cdot \frac{3ax+3b}{3ax+b}=\frac{1}{3}\left[1+\frac{2b}{3ax+b}\right], zatem f maleje, czyli a<b
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 31 gru 2016, o 17:40 
Gość Specjalny
Avatar użytkownika

Posty: 17594
Lokalizacja: Cieszyn
Dobrze, że konkluzja ta sama. :)
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 4 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 Wykaż podzielność liczby - zadanie 2  askgaw  1
 Nierówność- liczby ktore je spelniaja  LadyM  1
 liczby rzeczywiste - zadanie 6  wojskib  1
 Liczby całkowite spełniające równanie - zadanie 2  Aga71  1
 Udowodnij wymienrość liczby - przekształcenia  marek252  6
cron
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl