szukanie zaawansowane
 [ Posty: 5 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 3 sty 2017, o 21:13 
Użytkownik

Posty: 769
Lokalizacja: Górnicza Dolina
Obliczyć całkę powierzchniową
\int  \int_{S}zdS,
gdzie S jest częścią powierzchni x^2+z^2=2az, (a>0) wyciętą powierzchnią z=\sqrt{x^2+y^2}.
Dostałem, że rzut na płaszczyznę OXY to elipsa x^2+\frac{y^2}{4} \le 1.
z mam wyznaczyć z walca czy wziąć jako stożek?
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 15 sty 2017, o 21:51 
Użytkownik

Posty: 769
Lokalizacja: Górnicza Dolina
Ktoś może wie jak to rozwiązać?
Góra
Kobieta Offline
PostNapisane: 23 sty 2017, o 01:01 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 622
Lokalizacja: Wrocław
x^2+z^2=2az\ \  \Rightarrow \ \ x^2+(z-a)^2=a^2\ \  \Rightarrow \ \ z=a+\sqrt{a^2-x^2}
\frac{\partial z}{\partial x}=\frac{-x}{\sqrt{a^2-x^2}}\ \ \ \ \ \ \ \ \frac{\partial z}{\partial y}=0
x^2+\frac{y^2}{4}=a^2\ \  \Rightarrow \ \ x=\pm\sqrt{a^2-\frac{y^2}{4}}=\pm\frac12\sqrt{4a^2-y^2}
\iint_Sz\, dS=4\int_{0}^{2a}\int_0^{\frac12\sqrt{4a^2-y^2}}z\sqrt{1+\left( \frac{\partial z}{\partial x}\right)^2+\left( \frac{\partial z}{\partial y}\right)^2}\, dx\,dy=
=4\int_{0}^{2a}\int_0^{\frac12\sqrt{4a^2-y^2}}\left(a+\sqrt{a^2-x^2} \right) \frac{a}{\sqrt{a^2-x^2}}\, dx\,dy =
=4\int_{0}^{2a}\int_0^{\frac12\sqrt{4a^2-y^2}}\left(\frac{a^2}{\sqrt{a^2-x^2}}+a\right) \, dx\,dy=2(4+\pi)a^3
lub we współrzędnych biegunowych
=\int_0^{2\pi}\int_0^1\left( \frac{a^2}{\sqrt{a^2-r^2a^2\cos^2\varphi}}+a\right)2ra^2\ dr\,d\varphi=
=2a^3 \int_0^{2\pi}\int_0^1\left(\frac{1}{\sqrt{1-r^2\cos^2\varphi}}+1\right)r\ dr\,d\varphi=2(4+\pi)a^3
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 23 sty 2017, o 01:21 
Użytkownik

Posty: 769
Lokalizacja: Górnicza Dolina
Czy ta całka jest elementarna?
Góra
Kobieta Offline
PostNapisane: 23 sty 2017, o 12:44 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 622
Lokalizacja: Wrocław
Obie całki są elementarne.

-- 23 sty 2017, o 22:01 --

Benny01 napisał(a):
Dostałem, że rzut na płaszczyznę OXY to elipsa x^2+\frac{y^2}{4} \le 1.

Ale dałam się wpuścić w maliny. Ten rzut nie jest elipsą.

x^2+z^2=2az\ \  \Rightarrow \ \ x^2+(z-a)^2=a^2\ \  \Rightarrow \ \ z=a+\sqrt{a^2-x^2}
\frac{\partial z}{\partial x}=\frac{-x}{\sqrt{a^2-x^2}}\ \ \ \ \ \ \ \ \frac{\partial z}{\partial y}=0
z=\sqrt{x^2+y^2}\ \  \Rightarrow\ \  a+\sqrt{a^2-x^2}=\sqrt{x^2+y^2}\ \  \Rightarrow \ \ y=\pm\sqrt{2\left( a^2+a\sqrt{a^2-x^2}-x^2\right) }
\iint_Sz\, dS=4\int_{0}^{a}\int_0^{\sqrt{2\left( a^2+a\sqrt{a^2-x^2}-x^2\right) }}z\cdot\sqrt{1+\left( \frac{\partial z}{\partial x}\right)^2+\left( \frac{\partial z}{\partial y}\right)^2}\, dy\,dx=
=4\int_{0}^{a}\int_0^{\sqrt{2\left( a^2+a\sqrt{a^2-x^2}-x^2\right) }}\left(a+\sqrt{a^2-x^2} \right) \frac{a}{\sqrt{a^2-x^2}}\, dy\,dx =
=4\int_{0}^{a}\int_0^{\sqrt{2\left( a^2+a\sqrt{a^2-x^2}-x^2\right) }}\left(\frac{a^2}{\sqrt{a^2-x^2}}+a\right) \, dy\,dx=
=4\sqrt{2}\int_{0}^{a}\sqrt{ a^2-x^2+a\sqrt{a^2-x^2}}\left(\frac{a^2}{\sqrt{a^2-x^2}}+a\right) \, dx \approx 15,55a^3

wg wolframalpha ta całka jest nieelementarna
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 5 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 Całka powierzchniowa - zadanie 6  km__87  0
 Całka powierzchniowa - zadanie 39  malysz369  10
 Całka powierzchniowa - zadanie 42  Benny01  6
 Całka powierzchniowa  Pieścimorda  2
 całka powierzchniowa - zadanie 2  magdamala20  4
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl