szukanie zaawansowane
 [ Posty: 15 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 3 sty 2017, o 21:47 
Użytkownik

Posty: 103
Rozwiń każdą z poniższych funkcji w szereg Taylora wokół podanego punktu i wyznacz zbiór wartości x, dla których ten szereg jest zbieżny:
\frac{1}{x}, 1
\sin(1+x),-1
Dwa pytania, rozwiń tzn podać po prostu do 3-4 pochodnej ten wzór i dalej kropeczki? Bo nie wiem do końca co zrobić z resztą tych szeregów. I co mam zrobić żeby określić zbiezność tych szeregów?

No bo na przykład w pierwszym mam że f(1) =  \frac{1}{2} + \frac{1}{4} +  \frac{1}{8}... Także widać że suma tego będzie 1, ale właśnie co zrobić z resztą i zbieżnością.

Jest wiecej przykładów, ale właśnie dałem sinusa, ponieważ nie umiem go rozpisać. Jaką wartość dać za ten drugi punkt, dla którego obliczamy pochodne?
Góra
Instytut Matematyczny, Uniwersytet Wrocławski
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 3 sty 2017, o 22:45 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 3487
Lokalizacja: PWr ocław
Szereg Taylora to suma składników postaci a_n (x-x_0)^n, gdzie x_0 punkt, który nazywa się punktem, wokół którego rozwija się szereg, a a_n = \frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}. Umiesz w zależności od n napisać n-tą pochodną funkcji \frac 1x, a właściwie jej wartość w punkcie x_0=1?
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 3 sty 2017, o 23:33 
Użytkownik

Posty: 103
Robię to tak:
wypisuję
f(x)= x^{-1}
f'(x) =  -x^{-2}
f''(x) = 2 x^{-3}
f'''(x) = -6 x^{-4}
za x "podstawiam" 2
f(2)= \frac{1}{2}
f'(2) = - \frac{1}{4}
f''(2) =  \frac{1}{8}
f'''(2) = -  \frac{1}{16}
stąd mam
f(1)=f(2)+ \frac{f'(2) \cdot (1-2)}{1} +  \frac{f''(2) \cdot (1-2)^{2}}{2} + \frac{f'''(2) \cdot (1-2)^{3}}{6}+...+R_{n}
co daje że f(1) =  \frac{1}{2}+ \frac{1}{4}  + \frac{1}{8}+...+R_{n}
no i teraz czy takie coś wystarczy pod pojęcie "rozwinięcie" czy ja mam tą resztę zapisać też jako pochodna?
No i otrzymując f(1) co mam zrobić żeby pokazać dla jakich x jest zbieżny ten szereg?
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 3 sty 2017, o 23:58 
Użytkownik

Posty: 86
Lokalizacja: Łódź
jakub1998 napisał(a):
no i teraz czy takie coś wystarczy pod pojęcie "rozwinięcie" czy ja mam tą resztę zapisać też jako pochodna?


nie wystarczy, trzeba podać wyraz ogólny dla każdego x, n.
zbieżność policzysz np stąd:
https://pl.wikipedia.org/wiki/Kryteria_zbie%C5%BCno%C5%9Bci_szereg%C3%B3w
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 4 sty 2017, o 09:04 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 3487
Lokalizacja: PWr ocław
Dlaczego za x podstawiasz 2? Przecież masz to rozwinąć wokół jedynki... A poza tym, właśnie, wyraz ogólny miałeś podać. Czyli napisać ogólny wzór na n-tą pochodną w punkcie, wokół którego rozwijasz.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 4 sty 2017, o 11:11 
Użytkownik

Posty: 103
f(x)=f(1)+ \frac{f'(1) \cdot (x-1)}{1} + \frac{f''(1) \cdot (x-1)^{2}}{2} + \frac{f'''(1) \cdot (x-1)^{3}}{6}+...+\frac{f'(c) \cdot (x-1)^{n}}{n!}
dla pewnego c między 1 a x, z tego wyjdzie, że
f(x) = 1 - (x-1) + (x-1)^{2} - (x-1)^{3}... więc jest to \sum_{i=0}^{ n } (-1)^{i}(x-1)^{i}
z kryterium Couchy'ego jest zbieżny dla x \in \left( 0,2\right), dla zera mamy szereg 1^{i} czyli rozbieżny, a dla dwójki szereg (-1)^{i} który nie jest zbieżny.

Tak mam to zrobić? Bo być może po prostu źle zadanie zrozumiałem.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 5 sty 2017, o 09:07 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 3487
Lokalizacja: PWr ocław
Druga pochodna w jedynce to 1? A nie 2? A trzecia to nie 6? Obawiam się, że ten wzór ogólny jest trochę inny niż (-1)^n ;)
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 5 sty 2017, o 13:03 
Użytkownik

Posty: 103
No tak, druga pochodna to 2, dzięki temu pochodne i silnie na dole mi się redukują.
Może źle zapisałem ten szereg trochę:
\sum_{i=0}^{ n } [(-1)^{i}(x-1)^{i}]
No bo (-1)^{i} jest tylko dla x=2, ale to napisałem (być może niedokładnie przeczytałeś?).
Czekam żeby ktoś mnie upewnił :D
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 5 sty 2017, o 17:21 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 3487
Lokalizacja: PWr ocław
Może cię nie rozumiem, ale przeczytaj mój pierwszy post w temacie. Według ciebie a_n = (-1)^n, co nie jest prawdą. Zobacz jaką postać na a_n w ogólności (w tym samym poście jest napisane).
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 5 sty 2017, o 18:02 
Użytkownik

Posty: 103
Możesz mi zaznaczyć fragment mojego posta z wczoraj, o który Ci chodzi? Bo ja też naprawdę tego nie rozumiem o czym mówisz.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 6 sty 2017, o 09:03 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 3487
Lokalizacja: PWr ocław
Sorry, ten szereg jest prawie dobrze napisany. Tylko to, co napisałeś, wygląda tak, jakbyś chciał mnie przekonać, że źle go napisałeś, bo

jakub1998 napisał(a):
No tak, druga pochodna to 2, dzięki temu pochodne i silnie na dole mi się redukują.

Wcale nie redukują się dzięki drugiej pochodnej w x_0=1 ;p Redukują się dzięki postaci ogólnej pochodnej.

jakub1998 napisał(a):
No bo (-1)^{i} jest tylko dla x=2

To już w ogóle jest bez sensu. (-1)^{i} to wartość i-tej pochodnej w punkcie x_0=1, więc ja nie wiem skąd tę dwójkę wziąłeś.

W pierwszym zdaniu napisałem, że szereg jest prawie dobrze napisany. Musisz tylko zmienić sumowanie na sumowanie do \infty zamiast do n ;)
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 6 sty 2017, o 13:01 
Użytkownik

Posty: 103
Nie no, ja cały czas wtedy mówię o sprawdzeniu zbieżności tego szeregu a już nie o postaci Taylora tego szeregu. Robię kryterium Couchy'ego, wychodzi mi że jest zbieżność dla x \in \left( 0,2\right) ale muszę zbadać jeszcze przypadki gdy z kryterium wychodzi wynik granicy = 1 czyli wtedy kiedy x=0 oraz x=2, i wtedy dla zera wychodzi szereg (-1)^{n}(-1)^{n}=1^{n} który jest rozbieżny, a dla dwójki (-1)^{n}1^{n}=(-1)^{n} który też nie jest zbieżny.

Według mnie wzór Taylora to jest f(x) = 1 - (x-1) + (x-1)^{2} - (x-1)^{3}...
a szereg \sum_{i=0}^{  \infty  } (-1)^{i}(x-1)^{i} (tu poprawiłem na tą nieskończoność)
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 6 sty 2017, o 13:07 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 8668
Lokalizacja: Wrocław
Trochę szacunku do wybitnych matematyków. Kryterium Cauchy'ego, a nie Couchy'ego.

Poza tym jest OK, dla x \in (0,2) mamy faktycznie
x^{-1}= \sum_{i=0}^{ \infty }(-1)^i(x-1)^i

BTW Używanie kryterium Cauchy'ego do badania zbieżności szeregu geometrycznego jest naciągane, bo dowód kryterium Cauchy'ego korzysta własnie z własności szeregów geometrycznych...
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 6 sty 2017, o 14:16 
Użytkownik

Posty: 103
Jak wykładowca pisze to nazwisko nie robiąc za czytelnej kreski przy a, to naprawdę można to czytać jako o i cały czas w moich notatkach mam tak zapisane, ale to już jest nieważne. Czyli bezpieczniej w tej sytuacji użyć kryterium d'Alemberta, bo wychodzi dokładnie to samo, czy jego dowód też jest oparty na własnościach szeregów geometrycznych?
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 6 sty 2017, o 14:37 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 8668
Lokalizacja: Wrocław
Ten dowód kryterium d'Alemberta, który ja znam, też opiera się na własnościach szeregów geometrycznych (nie wiem, czy istotnie inny dowód istnieje).
Zresztą może niepotrzebnie marudziłem w sprawie użycia kryterium Cauchy'ego, błąd merytoryczny to nie jest, choć pewna niezręczność już tak (podobnie jak np. liczenie granicy \lim_{x \to 0}\frac{ \sin x}{x} z użyciem reguły de l'Hospitala). Generalnie to fakt, że szereg geometryczny
o ilorazie q jest zbieżny wtedy i tylko wtedy, gdy |q|<1, uzasadnia się,
przedstawiając jego sumę częściową w postaci zwartej (znany wzór na sumę początkowych wyrazów ciągu geometrycznego), a potem licząc granicę.
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 15 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 zadanie na wzór Taylora  yaper  0
 Podać trzy pierwsze wyrazy wzoru Taylora funkcji:  jareczek  0
 Szereg Taylora - zadanie 57  garrincha94  4
 Jak oblicza się granicę wykorzystując szeregi Taylora?  wrotarianin  5
 Rozwijanie w szereg Taylora w otoczeniu danego x0.  pawelmitrus  1
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) ParaRent.com