szukanie zaawansowane
 [ Posty: 8 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 4 sty 2017, o 15:55 
Użytkownik

Posty: 65
Lokalizacja: Warszawa
Jak zbadać zbieżność takich szeregów?
1. \sum_{n=1}^{\infty} (\sqrt{2n +1} + 1)^2 \sin{\frac{1}{3n + 1}}
Tutaj oszacowałem, że dla n=\infty wyraz a_n będzie dążył do \frac{1}{3}. Wyrazy nie dążą do 0, więc ciąg rozbieżny. Czy coś takiego wystarczy?

2. \sum_{n=1}^{\infty}\frac{(2n)!}{(3n + 1)^2}
To się prosi o kryteria Cauchy'ego i d'Alemberta, ale można te kryteria w jakiś sposób połączyć? Bo korzystając tylko z jednego nie dostajemy nic konkretnego.
Góra
Instytut Matematyczny, Uniwersytet Wrocławski
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 4 sty 2017, o 17:18 
Moderator
Avatar użytkownika

Posty: 7265
Lokalizacja: Wrocław
1. Wyraz dąży do \frac{2}{3}, a reszta argumentu w porządku (przy czym należy napisać, że szereg jest rozbieżny, a nie ciąg).

2. Kryterium d'Alemberta dobrze działa.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 4 sty 2017, o 17:53 
Użytkownik

Posty: 65
Lokalizacja: Warszawa
\lim_{n\to\infty} {\frac{(2n+2)!}{(2n)!} \cdot \frac{(3n+1)^{2n}}{(3n+4)^{2n}}} = \lim_{n\to\infty} {(2n+1)(2n+2) \cdot (\frac{3n + 1}{3n + 4}})^{2n}

I rozumiem, że z tego drugiego czynnika mam wyjść do granicy:
\lim_{x\to\infty}{(1 + \frac{1}{x})^x} = e
tak? W zasadzie to już z tego widać, że jest rozbieżny.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 4 sty 2017, o 21:28 
Moderator
Avatar użytkownika

Posty: 7265
Lokalizacja: Wrocław
Źle. Jeśli

a_n = \frac{(2n)!}{(3n+1)^2},

to ile to jest a_{n+1} ?
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 5 sty 2017, o 00:44 
Użytkownik

Posty: 65
Lokalizacja: Warszawa
a_{n+1} = \frac{(2(n+1))!}{(3(n+1)+1)^2} =  \frac{(2n + 2)!}{(3n+4)^2} = \frac{(2n + 2)!}{9n^2 +24n + 16}
Z tą różnicą, że w przykładzie mam potęgę 2n, a nie widzę tutaj jakiejś zależności, gdzie można podnieść do potęgi 2 i zostawić jeszcze n.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 5 sty 2017, o 00:49 
Użytkownik

Posty: 11888
Lokalizacja: Bydgoszcz
A jak masz a_n=\frac{(2n)!}{(3n+1)^{2n}} to jeszcze prościej: (2n)!<(2n)^{2n}
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 6 sty 2017, o 14:42 
Użytkownik

Posty: 4
Lokalizacja: wwa
a4karo możesz to rozwinąć, nie wychodzi mi
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 6 sty 2017, o 15:09 
Użytkownik

Posty: 11888
Lokalizacja: Bydgoszcz
No to jeszcze dodam, że (3n+1)>3n
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 8 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 Zbieżność szeregów - zadanie 28  Tophers  5
 Zbieżność szeregów - zadanie 98  PiotrWP  3
 Zbieznosc szeregow - zadanie 78  maaatrix  2
 Zbieżność szeregów - zadanie 77  jacknoise  5
 Zbieżność szeregów - zadanie 101  vertimus  9
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) ParaRent.com