szukanie zaawansowane
 [ Posty: 15 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 4 sty 2017, o 21:28 
Użytkownik

Posty: 12
Lokalizacja: Kraków
Witam, jak sobie poradzić z tą granicą?

\lim_{ R\to 0} \int_{ \partial B(0,R)}f(x)dx

tutaj \partial B(0,R) \subset \RR^n jest sferą o środku w 0 i promieniu R
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 7 sty 2017, o 17:41 
Moderator

Posty: 5395
Lokalizacja: Toruń
Czy całkę rozumiemy jako
\int_{ \partial B(0,R)}f(x)\, \mathrm{d}S(x)?
Bo napisana przez Ciebie całka wynosi 0.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 7 sty 2017, o 17:54 
Użytkownik

Posty: 12
Lokalizacja: Kraków
Tak
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 7 sty 2017, o 17:58 
Moderator

Posty: 5395
Lokalizacja: Toruń
Jeżeli funkcja jest dość ładna, to ta granica wynosi 0.
Istotnie:
\int_{ \partial B(0,R)}f(x)\, \mathrm{d}S(x) = | B(0,R) | \cdot \frac{1}{| B(0,R) |} \int_{ \partial B(0,R)}f(x)\, \mathrm{d}S(x).
Przy dostatecznej regularności f, korzystając z twierdzenia o wartości średniej, mamy
\frac{1}{| B(0,R) |} \int_{ \partial B(0,R)}f(x)\, \mathrm{d}S(x) \to f(0),
zaś |B(0,R)| \to 0 na mocy ciągłości miary Lebesgue'a.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 7 sty 2017, o 18:03 
Użytkownik

Posty: 12
Lokalizacja: Kraków
Tzn. intuicyjnie też myślę , że powinno być zero bo promień się zmniejsza, ale wynik jest inny.
Funkcja podcałkowa jest klasy C^{ \infty } i ma zwarty nośnik

-- 7 sty 2017, o 18:08 --

I pytanie jeszcze jedno, czemu (nawet dla funkcji "regularnych") zastosował Pan własność wartości średniej (która jest dla np. harmonicznych)
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 7 sty 2017, o 20:22 
Moderator

Posty: 5395
Lokalizacja: Toruń
Miałem na myśli tę własność:
https://en.wikipedia.org/wiki/Spherical ... s_and_uses
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 7 sty 2017, o 21:52 
Użytkownik

Posty: 12
Lokalizacja: Kraków
Ok rozumiem, ale własność ta jest dla funkcji harmonicznych, a my nie zakładamy nic takiego. Jest tylko klasy C^{ \infty }
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 7 sty 2017, o 23:42 
Użytkownik

Posty: 12583
Lokalizacja: Bydgoszcz
WYstarczy, żeby byłą ciągłą; n-1-wymiarowa objętość tego, po czym całkujemy dąży do zera.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 7 sty 2017, o 23:51 
Użytkownik

Posty: 12
Lokalizacja: Kraków
OK, załóżmy, że nie ma limesa, czy można tu skorzystać z własności wartości średniej???
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 8 sty 2017, o 03:55 
Użytkownik

Posty: 12583
Lokalizacja: Bydgoszcz
Nie. f(x) =0 dla x\neq0, f(0)=552452
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 8 sty 2017, o 11:58 
Użytkownik

Posty: 12
Lokalizacja: Kraków
A czy ta funkcja jest klasy C^{\infty}???
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 8 sty 2017, o 13:37 
Użytkownik

Posty: 12583
Lokalizacja: Bydgoszcz
studentmatmy napisał(a):
OK, załóżmy, że nie ma limesa, czy można tu skorzystać z własności wartości średniej???



studentmatmy napisał(a):
A czy ta funkcja jest klasy C^{\infty}???


Możesz się wyrażać precyzyjniej? Dla mnie stwierdzenie "nie ma limesa" (choć paskudnie brzmi po polsku) oznacza nieciągłość, i taki przykład dostałeś. Czy nieciągła funkcja może być głądka?
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 8 sty 2017, o 15:05 
Moderator

Posty: 5395
Lokalizacja: Toruń
Funkcja podcałkowa musi być ciągła, aby podana przeze mnie własność zachodziła. Nic więcej.

-- 8 sty 2017, o 14:13 --

Może dam szkic dowodu. Chcemy pokazać, że
\frac{1}{| \partial B(0,R) |} \int_{ \partial B(0,R)}f(x)\, \mathrm{d}S(x) \to f(0),
lub równoważnie
\left| \frac{1}{| \partial B(0,R) |} \int_{ \partial B(0,R)}f(x)\, \mathrm{d}S(x) - f(0) \right| \to 0.
Zauważmy, że
\left| \frac{1}{| \partial B(0,R) |} \int_{ \partial B(0,R)}f(x)\, \mathrm{d}S(x) - f(0) \right| = \left| \frac{1}{| \partial B(0,R) |} \int_{ \partial B(0,R)}f(x) - f(0)\, \mathrm{d}S(x) \right| \leq  \frac{1}{| \partial B(0,R) |} \int_{ \partial B(0,R)} |f(x) - f(0)| \, \mathrm{d}S(x)
Gdy |x| = R jest dostatecznie bliskie zera, tj. R = |x| < \delta, to |f(x) - f(0)| < \varepsilon. Stąd
\frac{1}{| \partial B(0,R) |} \int_{ \partial B(0,R)} |f(x) - f(0)| \, \mathrm{d}S(x) \leq  \frac{1}{| \partial B(0,R) |} \cdot \varepsilon \cdot | \partial B(0,R)| = \varepsilon,
co kończy dowód.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 8 sty 2017, o 16:15 
Użytkownik

Posty: 12
Lokalizacja: Kraków
Cytuj:
Funkcja podcałkowa musi być ciągła, aby podana przeze mnie własność zachodziła


czyli mówiąc wprost ciągłość wystarczy aby zastosować własność wartości średniej?

-- 8 sty 2017, o 16:33 --

Cytuj:
Możesz się wyrażać precyzyjniej? Dla mnie stwierdzenie "nie ma limesa" (choć paskudnie brzmi po polsku) oznacza nieciągłość, i taki przykład dostałeś. Czy nieciągła funkcja może być głądka?


OK, trochę namieszałem, ale już zrozumiałem.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 8 sty 2017, o 19:52 
Moderator

Posty: 5395
Lokalizacja: Toruń
studentmatmy napisał(a):
Cytuj:
Funkcja podcałkowa musi być ciągła, aby podana przeze mnie własność zachodziła


czyli mówiąc wprost ciągłość wystarczy aby zastosować własność wartości średniej?


Tak; przy tym, to co ja nazywam tutaj własnością wartości średniej nie jest tym samym, co własność wartości średniej dla funkcji harmonicznych.
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 15 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 Całka po krzywej skierowana - jak to rozwiązać?  freeze2  1
 całka krzywoliniowa - zadanie 6  asiak1987  1
 całka zorientowana  asiak1987  1
 Całka krzywolinowa skierowana  batory1533  1
 Całka krzywoliniowa nieskierowana - zadanie 6  ekwi.pax  6
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl