szukanie zaawansowane
 [ Posty: 5 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 4 sty 2017, o 23:03 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 774
Lokalizacja: Jasło/Kraków
Mamy f_n(x)= \frac{x^{n+1}-(n+1)x+n}{n^2(x-1)^2} gdzie \left| x\right|<1 oraz n \in \mathbb{N}.
Niech a_n:=lim_{x\to 1}f_n(x) oraz f(x):=lim_{n\to\infty}f_n(x).
Obliczyć:
1. lim_{n\to\infty}a_n
2.lim_{x\to 1 }f(x)=.
Najpierw próbuje się uporać z jedynką. Po obliczeniu kilku wyrazów tego ciągu mam kolejno 1,  \frac{3}{4} ,  \frac{2}{3},  \frac{5}{8}.... Widać zatem, że jest to ciąg malejący. Próbowałem to udowodnić licząc a_{n+1}-a_n, lecz nic sensownego nie uzyskałem. Ciąg ten jest ograniczony przez 1. Teraz twierdzę, że granica tego ciągu to 0, tylko jak to wykazać?
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 5 sty 2017, o 19:12 
Gość Specjalny
Avatar użytkownika

Posty: 17593
Lokalizacja: Cieszyn
Jedynka jest prosta. Skorzystaj z reguły de L'Hospitala i wyjdzie ciąg prosty jak konstrukcja cepa. W drugim zadaniu rozdziel sumę na trzy składniki. Ponieważ |x|<1, to x^n\to 0. Stąd też \frac{x^{n+1}}{n^2}\to 0 (dlaczego)?
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 6 sty 2017, o 04:36 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 774
Lokalizacja: Jasło/Kraków
Z porównania wzrostu wykladniczego i potęgowego. Pochodzę z małej wsi, więc cep widziałem na własne oczy:D
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 6 sty 2017, o 12:24 
Gość Specjalny
Avatar użytkownika

Posty: 17593
Lokalizacja: Cieszyn
No to dokończ zadanko. Ja też widziałem cep w stodole u babci.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 10 sty 2017, o 22:19 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 774
Lokalizacja: Jasło/Kraków
Dziękuje za pomoc. Jeśli chodzi o drugie to mam coś takiego:
lim_{n\to\infty}f_n(x)=0. Natomiast funkcja f(x) definiowana jest jako f(x):=lim_{n\to\infty}f_n(x) właśnie. Zatem lim_{x\to 1 }f(x)=0, prawda?
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 5 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 Granica funkcji.  marcin-tryka  5
 Granica funkcji. - zadanie 2  iwetta  6
 Granica funkcji. - zadanie 3  Mithrandir  7
 Granica funkcji. - zadanie 4  figo182  1
 Granica funkcji. - zadanie 5  Mateusz9000  3
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl