szukanie zaawansowane
 [ Posty: 2 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 6 sty 2017, o 13:25 
Użytkownik

Posty: 1403
Lokalizacja: Sosnowiec
Zbadać różniczkowalność funkcji

f(x)=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{x^n}{n^2}

w punkcie 1.

Próbowałem z definicji

\lim_{x\to 1^{-}}\frac{\sum_{n=1}^{\infty}\frac{x^n}{n^2}-\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^2}}{x-1}=\lim_{x\to 1^{-}}\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^2} \frac{x^n-1}{x-1}

i teraz pytanie, czy mogę z granicą wejść pod znak sumy?
Góra
Instytut Matematyczny, Uniwersytet Wrocławski
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 6 sty 2017, o 16:42 
Moderator
Avatar użytkownika

Posty: 7384
Lokalizacja: Wrocław
To pytanie ma dwa poziomy.

Można powiedzieć, że taka operacja jest dozwolona, mając na myśli, że równość

\lim_{x \to 1^-} \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2} \frac{x^n-1}{x-1} = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n}

jest prawdziwa (i jakoś to udowodnić).

Drugi, głębszy poziom tego pytania, to kwestia: czy wynika to z jakiegoś ogólniejszego faktu, albo ambitniej: jak można objąć tę konkretną sytuację twierdzeniem o jak najogólniejszym sformułowaniu, dla którego taka teza zachodzi?

Odpowiedź na to drugie pytanie nie jest dla mnie oczywista, więc zaproponuję takie sformułowanie:


Cytuj:
Niech f_n : (0, 1) \to [0, \infty) będzie ciągiem funkcyjnym i a_n = \lim_{x \to 1^-} f_n(x), a ponadto

\sum_{n=1}^{\infty} a_n = \infty.

Wtedy

\lim_{x \to 1^-} \sum_{n=1}^{\infty} f_n(x) = \infty.

Dowód.
Niech R > 0 i niech N \in \NN będzie tak duże, że

\sum_{n=1}^N a_n > R+1.

Dla n = 1, 2, \ldots, N z równości a_n = \lim_{x \to 1^-} f_n(x) wynika, że istnieje x_n < 1, taki że f_n(x) > a_n - \frac{1}{N} dla x > x_n. Wówczas biorąc x_0 = \max_{1 \le n \le N} x_n, otrzymujemy dla x > x_0

\sum_{n=1}^{\infty} f_n(x) \ge \sum_{n=1}^N f_n(x) > \sum_{n=1}^N \left( a_n - \frac{1}{N} \right) = \sum_{n=1}^N a_n - 1 > R,

co kończy dowód.


Jeśli założenie \sum_{n=1}^{\infty} a_n = \infty zastąpimy przez \sum_{n=1}^{\infty} a_n = S, ale założymy dodatkowo, że f_n(x) \le a_n dla x < 1, to analogicznie dowodzi się, że wtedy

\lim_{x \to 1^-} \sum_{n=1}^{\infty} f_n(x) = S.

Czyli w takich dwóch przypadkach zamiana sumy i granicy jest dozwolona.

Dygresja:    
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 2 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 Zbadać różniczkowalność funkcji  kolumb  8
 Zbadać różniczkowalność funkcji - zadanie 2  siekieracku  1
 Zbadać różniczkowalność funkcji - zadanie 3  michdyr  0
 Zbadać różniczkowalność funkcji - zadanie 4  zzielona  4
 Zbadać różniczkowalność funkcji - zadanie 5  krzyszek90  3
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl