szukanie zaawansowane
 [ Posty: 6 ] 
Autor Wiadomość
Kobieta Offline
PostNapisane: 7 sty 2017, o 17:21 
Użytkownik

Posty: 4
Lokalizacja: Polska
Wykaż, że dla dowolnej liczby n istnieje liczba zapisana tylko przy pomocy zer i jedynek, która dzieli się przez n.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 7 sty 2017, o 19:30 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 10588
Lokalizacja: Wrocław
Warunki zadania spełnia liczba 0, ale raczej nie o to chodziło. :D
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 7 sty 2017, o 19:45 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 2345
Lokalizacja: Katowice
Jest to klasyczne zadanie na zasadę szufladkową Dirichleta. Rozważ liczby postaci 11\ldots 1 modulo n. Możliwych reszt jest skończenie wiele.
Góra
Kobieta Offline
PostNapisane: 7 sty 2017, o 20:05 
Użytkownik

Posty: 4
Lokalizacja: Polska
Czy JakimPL, chodzi o to że wśród n+1 liczb postaci 1111...111 co najmniej dwie dają ta samą resztę mod n i ich różnicą dzieli się przez n??? A taka różnica będzie się składać z samych zer i jedynek.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 7 sty 2017, o 20:16 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 2345
Lokalizacja: Katowice
Tak, dokładnie o to chodziło :).
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 7 sty 2017, o 20:20 
Użytkownik

Posty: 126
Lokalizacja: Warszawa
Rozważmy n+1 liczb naturalnych postaci 1, 11, 111, \ldots, \underbrace{11\ldots 1}_{n+1}. Na mocy zasady szufladkowej Dirichleta dokładnie dwie z nich dają taką samą resztę z dzielenia przez n. Oznaczmy te liczby przez a_{i}=\underbrace{11\ldots 1}_{i} oraz a_{j}=\underbrace{11\ldots 1}_{j}, przy czym n+1\geqslant i>j.Gdy dwie liczby dają taką samą resztę z dzielenia przez n, to wówczas ich różnica jest podzielna przez n. Oznacza to, że przez n podzielna jest liczba a_{i}-a_{j}=\underbrace{11\ldots 1}_{i}-\underbrace{11\ldots 1}_{j}=\underbrace{11\ldots 1}_{i-j}\underbrace{00\ldots 0}_{j}. Liczba ta zapisana jest jedynie przy pomocy zer i jedynek oraz jest podzielna przez n, a to kończy dowód.
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 6 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 (3 zadania) Wykaż, że liczby są podzielne przez ...  Anonymous  5
 (4 zadania) Sprawdz podzielność wyrażenia  Anonymous  3
 (4 zadania) Sprawdz podzielność liczb przez 10  Anonymous  4
 Udowodnij twierdzenie. Podzielność liczby przez 11  Anonymous  3
 (3 zadania) Udowodnić podzielność przez 9. Wykazać, że  basia  2
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl