szukanie zaawansowane
 [ Posty: 9 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 7 sty 2017, o 19:03 
Użytkownik

Posty: 103
Oblicz sumę szeregu 1-x^{2}+x^{4}-x^{6}+.. dla |x|<1 a następnie uzasadnij, że
(\arctan x)' = x -  \frac{x^{3}}{3}+ \frac{x^{5}}{5}-...

I teraz ode mnie pytanie, suma szeregu to oczywiście właśnie pochodna z \arctan x, ale nie wiem co rozumieć pod udowodnienie tego niżej. Jedyne na co wpadłem tutaj to że \int_{0}^{x} (1-x^{2}+x^{4}-x^{6}+..) daje właśnie x -  \frac{x^{3}}{3}+ \frac{x^{5}}{5}-...
Jakoś to inaczej rozpisać mam?
Góra
Instytut Matematyczny, Uniwersytet Wrocławski
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 7 sty 2017, o 19:11 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 8668
Lokalizacja: Wrocław
Sorry, ale coś nie tak napisałeś. Jest tak:
\arctan x=x - \frac{x^{3}}{3}+ \frac{x^{5}}{5}-... dla |x|<1
oraz tak:
(\arctan x)'=1-x^{2}+x^{4}-x^{6}+..,
a nie na odwrót. Co do obliczenia tej pierwszej sumy 1-x^{2}+x^{4}-x^{6}+..- to jest szereg geometryczny.
Całkowanie wyraz po wyrazie to jest dobry pomysł, jeśli chodzi o ten dowód, ale raczej nie powinieneś oznaczać tą samą literą zmiennej, po której całkujesz i jednej z granic całkowania.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 7 sty 2017, o 19:14 
Użytkownik

Posty: 103
No tak, tak, źle przepisałem polecenie :D To za dowód wystarczy tylko to sumowanie całek?
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 7 sty 2017, o 19:16 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 8668
Lokalizacja: Wrocław
Całka Riemanna w ogólności nie jest przeliczalnie addytywna. Należy się jeszcze powołać na twierdzenie o różniczkowaniu i całkowaniu szeregów potęgowych (wewnątrz przedziału zbieżności).
Nie wiem, czy miałeś już to twierdzenie na wykładzie.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 7 sty 2017, o 19:22 
Użytkownik

Posty: 103
No właśnie rzecz w tym że na wykładzie dopiero zaczęliśmy nieoznaczone całki i dlatego wolałbym jakąś alternatywną wersję tego dowodu, coś prostszego.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 7 sty 2017, o 19:28 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 8668
Lokalizacja: Wrocław
No, wszystko przez to, że w niewłaściwej kolejności zapisałeś te sumy, zamieszanie.

Jak zapewne policzyłeś, dla |x|<1 mamy
1-x^{2}+x^{4}-x^{6}+...= \frac{1}{1+x^2} =(\arctan x)'
Jaka jest Twoja teza?
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 7 sty 2017, o 19:57 
Użytkownik

Posty: 103
Przyznam się, że teraz się pogubiłem bo nie rozumiem o co Ci w tym momencie chodzi, tak przeliczyłem i mam tą całą linijkę gdzie przyrównujesz 3 wartości.

Swoją drogą tego posta, że źle przepisałem polecenie napisałem bez patrzenia na listę, bo założyłem że jestem po prostu do tego zdolny, a tu się okazuje że właśnie na liście jest błąd.. Właśnie cały czas chciałem przyrównywać to 1-x^{2}+x^{4}-.. oraz x - \frac{x^{3}}{3}+ \frac{x^{5}}{5}-.. i się dziwiłem dlaczego to tak działa.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 7 sty 2017, o 23:32 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 8668
Lokalizacja: Wrocław
Pytałem, jaka jest w końcu Twoja teza, bo sam się w tym pogubiłem.
Czy chodzi o to, by wykazać, że
dla |x|<1 mamy \arctan x=x - \frac{x^{3}}{3}+ \frac{x^{5}}{5}-..?
Jeśli tak, to o ile mamy skorzystać z \frac{1}{1+x^2}=1-x^2+x^4-x^6+\dots, ja nie umiem tego zrobić inaczej, niż poprzez skorzystanie z twierdzenia o całkowaniu szeregów potęgowych wyraz po wyrazie. To nie jest bardzo trudne twierdzenie.
Ale może ktoś przedstawi inny pomysł...
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 8 sty 2017, o 08:23 
Użytkownik

Posty: 103
Dokładnie tak. No to myślę, że jak nie ma prostszego rozwiązania to jak zapiszę w sposób
(\arctan x)'=1-x^{2}+x^{4}-x^{6}+.. |\int_{}^{}
\arctan x=x - \frac{x^{3}}{3}+ \frac{x^{5}}{5}-..
to nikt się nie przyczepi. Przepraszam za bałagan w moich myślach :)
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 9 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 Zbadaj zbieżność szeregu...  mm34639  3
 x0 w obliczaniu zbieznosci szeregu potegowego  Naiya  2
 Zbieznosc szeregu potegowego  haxo  5
 Zbieznosc szeregu funkcyjnego  Gnomek  0
 Zbieżność jednostajna szeregu  kej.ef  0
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) ParaRent.com