szukanie zaawansowane
 [ Posty: 10 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 9 sty 2017, o 14:15 
Użytkownik

Posty: 170
Lokalizacja: Zamość
Witam. Na dyskretnej mam takie zadanie za które nie wiem w ogóle jak się zabrać mianowicie:
Wielomian charakterystyczny jednorodnej rekurencji liniowej ma dwa pierwiastki jednokrotne równe 2 i -2. Podać postać tej rekurencji oraz jej rozwiązanie przy warunkach początkowych a_{1} = 0, a_{2}= 8

Rozwiązałem to zadanie tak:
a_{n}=2^{n}c_{1} + (-2)^{n}c_{2}

a_{1}=2c_{1}-2 c_{2}
a_{2}=4c_{1}+2 c_{2}

\begin{cases} 2c_{1}-2c_{2}=0\\4c_{1}+4c_{2}=8\end{cases}
Z czego otrzymałem
\begin{cases} c_{1}=1\\c_{2}=1\end{cases}

a_{n}=2^{n}+(-2)^{n}

A w związku z tym, że lekko wyprzedziłem temat na zajęciach to nie wiem jak otrzymać z wzoru ogólnego wzór rekurencyjny.. Bo rozumiem, że zostało mi wyznaczyć tylko postać rekurencji, tak?
Góra
Instytut Matematyczny, Uniwersytet Wrocławski
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 9 sty 2017, o 14:37 
Gość Specjalny
Avatar użytkownika

Posty: 17298
Lokalizacja: Cieszyn
Rozwiązanie rekurencji jak najbardziej poprawne. A równanie charakterystyczne jest postaci... (zapisz). Zauważ, że potęga niewiadomej r^k odpowiada wyrazowi a_{n+k} rekurencji. Spróbuj po tej wskazówce utworzyć tę rekurencję. To zadanie odwrotne do tworzenia równania charakterystycznego przy danej rekurencji.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 9 sty 2017, o 14:45 
Użytkownik

Posty: 170
Lokalizacja: Zamość
Czyli teraz z miejsc zerowych tego równania charakterystycznego powinienem dojść do tego jak ono wygląda?

Coś jakby (x-2) i (x+2) czy źle rozumuję?
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 9 sty 2017, o 15:06 
Gość Specjalny
Avatar użytkownika

Posty: 17298
Lokalizacja: Cieszyn
Tak. Ale musisz połączyć te wyrażenia liniowe.

Ćwiczenie. Równaniem charakterystycznym rekurecji a_{n+3}-3a_{n+2}+a_{n+1}-a_n=0 jest r^3-3r^2+r-1=0. W drugą stronę: rekurencją o równaniu charakterystycznym r^4-8r^2+4r-6=0 jest ... (napisz).
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 9 sty 2017, o 15:09 
Użytkownik

Posty: 170
Lokalizacja: Zamość
a_{n+4} - 8a_{n+2} + 4a_{n+1} - 6a_{n}=0

Więc wystarczy to zwyczajnie wymnożyć i powstaje mi równanie charakterystyczne?
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 9 sty 2017, o 15:40 
Gość Specjalny
Avatar użytkownika

Posty: 17298
Lokalizacja: Cieszyn
Właśnie to chciałem powiedzieć.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 9 sty 2017, o 15:49 
Użytkownik

Posty: 170
Lokalizacja: Zamość
To jeszcze przed założeniem tematu do całkowicie innego zadania..

Co będzie gdy x będzie wielokrotnym pierwiastkiem?

(c_{1} + c_{2}n + c_{3}n^{2} + ... + c_{m}n^{m-1})x^{n}?
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 9 sty 2017, o 16:01 
Gość Specjalny
Avatar użytkownika

Posty: 17298
Lokalizacja: Cieszyn
Tak będzie. Mniej więcej, bo masz chaos w oznaczeniach. Lepiej zapisać wtedy

a_k=(c_0+c_1k+\dots+c_{n-1}k^{n-1})x^n
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 9 sty 2017, o 16:57 
Użytkownik

Posty: 170
Lokalizacja: Zamość
Zapytam tu jeszcze o:
a początku pewna dziewczynka posiadała w szafie 2 sukienki a po roku
posiadała już 4 sukienki. Po każdym następnym roku liczba sukienek w szafie była równa sumie
potrojonej liczby sukienek na koniec poprzedniego roku i pomnożonej przez 4 liczby sukienek po
przedostatnim roku. Znajdź wzór jawny na a_{n} - liczbę sukienek w szafie tej dziewczynki po n latach.

No więc rozwiązałem to tak:
a_{0}=2, a_{1}=4
a_{n}=3a_{n-1}+4a_{n-2}
x^{n}=3x^{n-1}+4x^{n-2}
Wymnażam stronami przez x^{-n+2}
I mam x^{2}-3x-4=0
\sqrt{\Delta}=5
x_{1}=-1
x_{2}=4
a_{n}=(-1)^{n}c_{1}+4^{n}c_{2}
\begin{cases} c_{1}+c_{2}=2\\-c_{1}+4c_{2}=4\end{cases}
c_{1}=\frac{4}{5} c_{2}=\frac{6}{5}
Natomiast odpowiedzią jest wzór ze współczynnikami c_{1}=c_{2}=1
Gdzie błąd?
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 9 sty 2017, o 17:49 
Gość Specjalny
Avatar użytkownika

Posty: 17298
Lokalizacja: Cieszyn
Na każde unikalne pytanie zakładaj osobny wątek. To nie wiąże się z zasadniczym tematem, przez co użytkownicy zwyczajnie nie dostrzegą tego, o co pytasz.

A może komuś się pomyliło i miało być, że w drugim roku ma trzy sukienki... Bo Twoje rozwiązanie jest poprawne.
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 10 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 Wzór ogólny ze wz. rekurencyjnego  peter_s19  6
 Rozwiązanie równania rekurencyjnego  matematyka464  3
 Zbiory z powtórzeniami i wyznaczanie funkcji tworzącej  abc123bb  2
 postać ogólna równania rekurencyjnego nieliniowego  krupowies2  11
 Graficzne wyznaczanie rozwiązania oraz gra  abuszekemaczan  0
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) ParaRent.com