szukanie zaawansowane
 [ Posty: 4 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 9 sty 2017, o 18:27 
Użytkownik

Posty: 243
Lokalizacja: Zamość
Nie pomyślałbym, że zadania z treścią będą dla mnie trudniejsze, a jednak... Więc mam kilka za które nie wiem nawet jak się zabrać, a niektóre ruszyłem, ale wyniki również są złe.

1.Mówimy, że rozwiązujący pewien problem student jest na n-tym etapie jeżeli do rozwiązania problemu pozostaje mu n kroków n \ge 1. Na każdym etapie ma on 5 możliwości postępowania. Dwie z nich prowadzą go z n-tego do (n−1)-go etapu, a pozostałe 3 z n-tego do (n-2)-go etapu. Niech a_{n} oznacza liczbę sposobów rozwiązania problemu zaczynając od n-tego etapu. Przyjmując , że problem na pierwszym etapie można rozwiązać na 5 sposobów, a na drugim na 13, wyznaczyć liczbę sposobów rozwiązania problemu w ogólnej sytuacji czyli na n-tym etapie.

Tutaj więc wymyśliłem coś takiego:
a_{1}=5 a_{2}=13
a_{n}=2a_{n-1}+3a_{n-2}
x^{2}-2x-3=0
\sqrt{\Delta}=4
x_{1}=-1 x_{2}=3
a_{n}=(-1)^{n}c_{1}+3^{n}c_{2}
\begin{cases} -c_{1}+3c_{2}=5\\c_{1}+9c_{2}=13\end{cases}
c_{1}= -\frac{1}{2} c_{2}=\frac{3}{2}
a_{n}=(-1)^{n}\cdot(-\frac{1}{2}) + 3^{n}\cdot\frac{3}{2}

a odp. to a_{n}=(-1)^{n+1}\cdot(\frac{1}{2}) + 3^{n+1}\cdot\frac{1}{2}

2.Przypuśćmy, że pewien prymitywny organizm osiąga dojrzałość po dwóch godzinach od urodzenia i ma wtedy pierwszych czterech potomków, a następnie co godzinę ma sześciu kolejnych potomków. Zakładając, że wszystkie urodzone organizmy zachowują się tak samo oraz że rozpoczęliśmy z jednym nowo urodzonym organizmem, obliczyć ilość organizmów
po upływie n godzin od momentu urodzenia pierwszego z nich

Tutaj nie mam pojęcia jak zacząć nawet..

3. Pewien samochód kosztował 10 tys euro. Klient kupił go w ramach sprzedaży ratalnej. Co miesiąc do sumy do spłacenia doliczane jest 10% rzeczywistych odsetek a klient spłaca ratę w wysokości 0,5 tys. euro. Znajdź wzór jawny na a_{n} sumę pozostającą do spłacenia po n miesiącach.

Tutaj też nie wiem co zrobić..
Góra
Mężczyzna Online
PostNapisane: 9 sty 2017, o 18:29 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 10630
Lokalizacja: Wrocław
Co do zadania pierwszego:
Cytuj:
a_{n}=(-1)^{n}\cdot(-\frac{1}{2}) + 3^{n}\cdot\frac{3}{2}

a odp. to a_{n}=(-1)^{n+1}\cdot(\frac{1}{2}) + 3^{n+1}\cdot\frac{1}{2}

Przecież to jest to samo!
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 9 sty 2017, o 18:30 
Użytkownik

Posty: 243
Lokalizacja: Zamość
Tak, teraz głupi ja zauważyłem, że 3^{n}\cdot 3=3^{n+1}, podobnie z -1.

-- 10 sty 2017, o 20:20 --

W drugim zadaniu przyjąć
a_{0}=1
a_{1}=5?
Natomiast na a_{n} nie mam pomysłu.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 11 sty 2017, o 02:08 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 2923
Lokalizacja: blisko
Co do drugiego noo banalnym nie jest ale po analizie zrobiłem coś takiego:

x_{n} - tyle osobników rodzi się dokładnie w entej godzinie.

a_{n} - tyle osobników istnieje dokładnie w entej godzinie.

Te poniższe rozpiski są co godzinę:

x_{1}=1, \\ x_{2}=0, \\ x_{3}=4, \\\ x_{4}=6 , \\ x_{5}=22 ,...

a_{1}=1, \\ a_{2}=1 , \\ a_{3}=5, \\\ a_{4}=11, \\ a_{5}=33 ,...

I zaobserwowałem coś takiego i za późno na tłumaczenie:

x_{n+3}=4x_{n+1}+6a_{n}

a_{n+3}=a_{n+2}+x_{n+3}

Przelicz sobie jeszcze.

Stosując funkcje tworzące można to sprowadzić do postaci jawnej.


\sum_{n=1}^{ \infty }x_{n+3}x^n=4 \sum_{n=1}^{ \infty }x_{n+1}x^n +6 \sum_{n=1}^{ \infty }a_{n}x^n


\sum_{n=1}^{ \infty }a_{n+3}x^n= \sum_{n=1}^{ \infty }a_{n+2}x^n+ \sum_{n=1}^{ \infty }x_{n+3}x^n

lub:

\frac{1}{x^3} \sum_{n=1}^{ \infty }x_{n+3}x^{n+3} = \frac{4}{x} \sum_{n=1}^{ \infty }x_{n+1}x^{n+1}+6 \sum_{n=1}^{ \infty }a_{n}x^n

\frac{1}{x^3} \sum_{n=1}^{ \infty }a_{n+3}x^{n+3}= \frac{1}{x^2} \sum_{n=1}^{ \infty }a_{n+2}x^{n+2}+ \frac{1}{x^3} \sum_{n=1}^{ \infty }x_{n+3}x^{n+3}

Podstawmy:

Z= \sum_{n=1}^{ \infty }x_{n}x^n ,   \  Y= \sum_{n=1}^{ \infty }a_{n}x^n

otrzymamy:

\frac{1}{x^3}\left[ Z-x-4x^3\right] = \frac{4}{x}\left[ Z-x\right] +6Y

\frac{1}{x^3}\left[ Y-x-x^2-5x^3\right]= \frac{1}{x^2}\left[ Y-x-x^2\right] + \frac{1}{x^3}\left[ Z-x-4x^3\right]

Po skróceniu i wymnożeniu otrzymamy:

Z-4x^2Z=x+6x^3Y

Y-Yx=Z

albo:

Z= \frac{x(1-x)}{1-x-4x^2-2x^3}

Y= \frac{x}{1-x-4x^2-2x^3}


jak je rozłożymy w szereg to otrzymamy:

Z=    \sum_{n=1}^{ \infty } \frac{1}{2} \left[ -4 (-1)^n - (-2 + \sqrt{3}) (1 + \sqrt{3})^n + (1 - \sqrt{3})^n (2 + \sqrt{3})\right]  x^n

Y=    \sum_{n=1}^{ \infty } \frac{1}{6} \left[ -6 (-1)^n - (-3 + \sqrt{3}) (1 + \sqrt{3})^n + (1 - \sqrt{3})^n (3 + \sqrt{3})\right]  x^n


co daje nam ostatecznie upragnione ciągi:

x_{n}= \frac{-4 (-1)^n - (-2 + \sqrt{3}) (1 + \sqrt{3})^n + (1 - \sqrt{3})^n \cdot  (2 + \sqrt{3})}{2} , n \ge 1

a_{n}= \frac{-6 (-1)^n - (-3 + \sqrt{3}) (1 + \sqrt{3})^n + (1 - \sqrt{3})^n  \cdot (3 + \sqrt{3})}{6} , n \ge 1

Właściwym rozwiązaniem jest oczywiście a_{n}

x_{n} mówi nam tylko ile się rodzi w danej godzinie.

Sprawdzałem liczyć na pierwszych siedmiu wyrazach a_{n}

I wszystko się zgadza jak z doświadczeniem...

Czyli powinno być ok.

Co do trzeciego zwykły procent składany nuda...

Zawsze rozpisuję ciągi i widzę jaka jest zależność między tymi co z tyłu a tymi co z przodu.
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 4 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 Wyznaczanie drzewa z kodu Prüfera - dowód na brak cyklu  wildzins  1
 wyznaczanie wzorów jawnych oraz rekurencyjnych  Worm  0
 Wyznaczanie ciagów ze zbioru w którym elementy sie powtarzaj  jhrt23  4
 z funkcji tworzacej do wzoru jawnego  marcyk00  0
 n po k - rozszerzenie wzoru  ChipiDay  1
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl