szukanie zaawansowane
 [ Posty: 3 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 10 sty 2017, o 13:21 
Użytkownik

Posty: 56
Lokalizacja: Krakow
Proszę pomóc mi obliczyć granice następujących typów funkcji, korzustając pochodne:
1) \lim_{x \to 1}\left( \sin (x - 1) \cdot \tg \frac{ \pi  \cdot x}{2} \right)
2) \lim_{x \to  \infty }\left( x -  \ln ^{3}x \right)
3) \lim_{x \to 0}\left( \cos \sin x\right) ^{ \frac{1}{x \cdot \sin x} }
4) \lim_{ x\to 1+} \left(  x^{\ln (x-1)} \right)
Góra
Instytut Matematyczny, Uniwersytet Wrocławski
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 10 sty 2017, o 14:01 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 9636
Lokalizacja: Wrocław
1) tego za bardzo nie umiem, ostatecznie
\lim_{x \to 1}\left( \sin(x - 1) \cdot \tg \frac{ \pi \cdot x}{2} \right)= \lim_{x \to 1} \frac{\sin(x-1)}{\ctg\left(  \frac{\pi}{2}  \cdot x\right) } i zastosuj regułę de l'Hospitala.
2) Dla dostatecznie dużych x masz np. x^{\frac 1 6}>\ln x (można to pokazać, np. licząc z de l'Hospitala granicę \lim_{x \to  \infty  } \frac{\ln x}{x^{\frac 1 6}}=0, a potem korzystając z definicji granicy funkcji), więc dla dostatecznie dużych x jest \sqrt{x}>\ln^3 x, ponadto np. x>2\sqrt{x} dla x\ge 4. Korzystając z tego oszacuj jakoś z dołu i wyjdzie \infty.
3) policz najpierw granicę logarytmu z tego wyrażenia (np. za pomocą reguły de l'Hospitala), tj.
\lim_{x \to 0}  \frac{\ln(\cos(\sin x))}{x\sin x}, potem skorzystaj z ciągłości eksponenty.
4) policz granicę logarytmu tego wyrażenia, zapisz to jako
\lim_{ x\to 1^+ }  \frac{\ln(x-1)}{ \frac{1}{\ln x } }, użyj reguły de l'Hospitala, a potem skorzystaj z ciągłości eksponenty.

-- 10 sty 2017, o 13:07 --

W tym ostatnim wyjdzie więcej tego rachowania. Przyda się fakt, że dla dowolnego a>0 jest
\lim_{x \to 0^+}x^a \ln x=0.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 10 sty 2017, o 14:14 
Użytkownik

Posty: 56
Lokalizacja: Krakow
Premislav, Dziękueję jeszcze raz!
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 3 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 Granice funkcji.  Anonymous  6
 Szukanie funkcji ciągłej spełniającej określony warunek  Ptolemeusz  9
 Granice funkcji wielu zmiennych  malgosia  1
 (6 zadań) Obliczanie granic funkcji  Anonymous  6
 Granica funkcji.  marcin-tryka  5
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl