szukanie zaawansowane
 [ Posty: 4 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 10 sty 2017, o 16:09 
Użytkownik

Posty: 101
Lokalizacja: Kraków
Witam,

mam do sprawdzenia czy podana niżej funkcja jest metryką. Nie mogę poradzić sobie z nierównością trójkąta. Prosiłbym o wskazówki.

Funkcja d:\mathbb{R}^2 \times \mathbb{R}^2 \longrightarrow [0,+ \infty) dana wzorem:

d((x_1,y_1),(x_2,y_2))=\mathrm{max}\lbrace|x_2-x_1|, |y_2-y_1| \rbrace.
Góra
Instytut Matematyczny, Uniwersytet Wrocławski
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 11 sty 2017, o 22:59 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 1113
Trzeba pokazać, że dla dowolnych x, y, z z Twojej przestrzeni zachodzi

d(x,y) + d(y,z) \ge d(x,z).

Na początek możesz sobie rozpisać to, co napisałem wyżej.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 12 sty 2017, o 16:57 
Użytkownik

Posty: 101
Lokalizacja: Kraków
Właśnie wiem, że taki warunek mam pokazać. Po rozpisaniu otrzymuję coś takiego:

d((x_1,y_1),(x_2,y_2)) + d((x_2,y_2),(x_3,y_3)) \ge d((x_1,y_1),(x_3,y_3))

\mathrm{max}\lbrace|x_2-x_1|, |y_2-y_1| \rbrace + \mathrm{max}\lbrace|x_3-x_2|, |y_3-y_2| \rbrace \ge \mathrm{max}\lbrace|x_3-x_1|, |y_3-y_1| \rbrace

No i z tego momentu nie widzę jak to dalej rozpisać. Prosiłbym o wskazówkę.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 15 sty 2017, o 19:10 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 735
Lokalizacja: Warszawa
Zupełnie ogólnie to mogę podpowiedzieć, że jak nie masz pomysłu na ładny dowód, to zawsze możesz zakasać rękawy i rozważyć wszystkie możliwe przypadki - czyli np. kiedy \mathrm{max}\lbrace|x_2-x_1|, |y_2-y_1| \rbrace = |x_2-x_2| etc. Jak się uprzesz, to kiedyś wyjdzie.

W tym konkretnym przypadku możesz pokazać, że |x_3-x_1| jest ograniczone z góry przez lewą stronę nierówności (wykorzystujesz do tego nierówność trójkąta dla | \cdot |). Podobne ograniczenie jest też prawdziwe dla |y_3-y_1|, w konsekwencji również dla maksimum tych dwóch liczb.
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 4 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 Jest to przestrzena metryczna jesli spelnione sa warunki...  Naiya  4
 (2 zadania) Wykazać, że t\A jest topologia itp.  DominikaWarzech  1
 Odległość hausdorffa jest metryką!  mada  0
 Metryka Hamminga - dowód?  Anonymous  3
 metryka  bubaka  1
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) ParaRent.com