szukanie zaawansowane
 [ Posty: 4 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 11 sty 2017, o 00:30 
Użytkownik

Posty: 193
Lokalizacja: Polska
Witajcie ;)
Mam zadanko.
Obliczyć:
\sum_{n=1}^{ \infty }  \frac{1}{n(4 n^{2}-1) }
Proszę o pomoc ;)
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 11 sty 2017, o 02:15 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 9808
Lokalizacja: Wrocław
Ten szereg jest zbieżny bezwzględnie, bo ma wyrazy dodatnie i np.
\frac{1}{n(4n^2-1)} < \frac{1}{n^3}

Zastosuję wiedzę, że istnieje \gamma= \lim_{n \to  \infty }(H_n-\ln n)

Mamy \frac{1}{n(4 n^{2}-1) }= \frac{1}{2n-1}+ \frac{1}{2n+1}- \frac{1}{n}.

Zatem:
\sum_{n=1}^{N} \frac{1}{n(4 n^{2}-1) }= \sum_{n=1}^{N} \left(  \frac{1}{2n-1}+ \frac{1}{2n+1}- \frac{1}{n}\right)=\\=  \sum_{n=1}^{N}\left(  \frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n} \right)+ \sum_{n=1}^{N}\left(  \frac{1}{2n+1}-\frac 1{2n} \right)=-1+ \frac{1}{2N+1}+2 \sum_{n=1}^{N}\left(  \frac{1}{2n-1}- \frac{1}{2n}  \right)
Niech teraz H_k= \sum_{n=1}^{k}\frac 1 n. Wówczas mamy:
\sum_{n=1}^{N} \frac{1}{n(4 n^{2}-1) }=-1+ \frac{1}{2N+1}+2\left( H_{2N}-H_N\right) =\\=-1+ \frac{1}{2N+1}+2\left( H_{2N}-\ln(2N)\right)-2\left( H_N-\ln(N)\right) +2(\ln(2N)-\ln(N))=-1+ \frac{1}{2N+1}+2\ln(2)+2\left( H_{2N}-\ln(2N)\right)-2\left( H_N-\ln(N)\right)
Przechodząc z N do nieskończoności, dostajemy
\sum_{n=1}^{ \infty } \frac{1}{n(4 n^{2}-1) }= \lim_{N \to  \infty  } \sum_{n=1}^{N} \frac{1}{n(4 n^{2}-1) }=\\= \lim_{N \to  \infty } \left( -1+ \frac{1}{2N+1}+2\ln(2)+2\left( H_{2N}-\ln(2N)\right)-2\left( H_N-\ln(N)\right)\right) =\\=-1+2\ln(2)+2\gamma-2\gamma=2\ln(2)-1
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 11 sty 2017, o 15:51 
Administrator
Avatar użytkownika

Posty: 12701
Lokalizacja: Kraków
Premislav napisał(a):
Zastosuję wiedzę, że istnieje \gamma= \lim_{n \to  \infty }(H_n-\ln n)

Fajne. Ja sugerowałbym "znaną" sumę

\sum\limits_{n=1}^\infty \frac{(-1)^{n+1}}{n}=\ln 2.

To można zastosować tutaj:

\sum_{n=1}^{N}\left( \frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n} \right)+ \sum_{n=1}^{N}\left( \frac{1}{2n+1}-\frac 1{2n} \right)

pamiętając jedynie, że brakuje gdzieś 1.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 11 sty 2017, o 18:45 
Użytkownik

Posty: 193
Lokalizacja: Polska
Faktycznie znana jest ta suma ;) Dziękuję bardzo :)
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 4 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 znaleźć sume szeregu - zadanie 15  sarsi  3
 znalezc sume szeregu - zadanie 16  sarsi  0
 Znaleźć sumę szeregu - zadanie 17  max123321  11
 Znaleźć sumę szeregu - zadanie 19  max123321  1
 znaleźć sumę szeregu  vanessa  4
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl