szukanie zaawansowane
 [ Posty: 9 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna Offline
 Tytuł: Moc zbioru
PostNapisane: 11 sty 2017, o 11:37 
Użytkownik

Posty: 127
Lokalizacja: Polska
Znaleźć moc zbioru wszystkich otwartych podzbiorów prostej.

Proszę o pomoc w rozwiązaniu tego zadania
Góra
Instytut Matematyczny, Uniwersytet Wrocławski
Mężczyzna Offline
 Tytuł: Moc zbioru
PostNapisane: 11 sty 2017, o 11:42 
Administrator
Avatar użytkownika

Posty: 12553
Lokalizacja: Kraków
Prostą można utożsamić z \RR w naturalny sposób. Każdy przedział w \RR jest jednoznacznie wyznaczony przez jego końce. Końce mogą być dowolną liczbą rzeczywistą lub być nieskończone.
Góra
Mężczyzna Offline
 Tytuł: Moc zbioru
PostNapisane: 11 sty 2017, o 12:00 
Użytkownik

Posty: 127
Lokalizacja: Polska
Niech X będzie zbiorem wszystkich otwartych podzbiorów prostej.
Weźmy funkcję f: X \rightarrow \RR \times \RR, określoną:
f( (a,b) )  = \left\langle a, b\right\rangle
Wtedy f jest bijekcją, a moc zbioru \RR \times \RR wynosi 2^{\mathfrak{c}}
Zatem zbiór X jest równoliczny z \RR \times \RR i jego moc wynosi 2^{\mathfrak{c}}

dobrze?
Góra
Mężczyzna Offline
 Tytuł: Moc zbioru
PostNapisane: 11 sty 2017, o 14:04 
Administrator
Avatar użytkownika

Posty: 12553
Lokalizacja: Kraków
Dobrze, o ile zakładamy, że otwarte znaczą tyle, że nie dopuszczamy nieskończonych końców.

Jeżeli dopuszczamy przedziały (a,+\infty) oraz (-\infty,b), to powyższe rozumowanie należy nieznacznie zmodyfikować. Wynik końcowy się nie zmienia.

Niedobrze, gdyż moc \RR\times \RR to nie jest 2^c. To jest po prostu c.
Góra
Mężczyzna Offline
 Tytuł: Moc zbioru
PostNapisane: 11 sty 2017, o 17:14 
Moderator
Avatar użytkownika

Posty: 7178
Lokalizacja: Wrocław
1. f nie jest bijekcją, bo \left< a, b \right> \notin \rng f jeśli b < a

2. Nie każdy otwarty podzbiór \RR jest przedziałem otwartym, na przykład (0, 1) \cup (4, 5) lub dopełnienie zbioru Cantora.
Góra
Mężczyzna Offline
 Tytuł: Moc zbioru
PostNapisane: 11 sty 2017, o 20:34 
Użytkownik

Posty: 127
Lokalizacja: Polska
W takim razie jak to trzeba zrobić?
Góra
Mężczyzna Offline
 Tytuł: Moc zbioru
PostNapisane: 11 sty 2017, o 20:41 
Użytkownik

Posty: 403
Lokalizacja: Łódź
Udowodnij (znajdź dowód), że rodzina przedziałów otwartych o końcach wymiernych stanowi bazę przeliczalną w \mathbb{R}. Inaczej mówiąc każdy zbiór otwarty U w \mathbb{R} jest postaci U=\bigcup_{n \in \mathbb{N}} (a_n,b_n) dla pewnych liczb wymiernych a_n,b_n, n \in \mathbb{N}. Stąd |\mathcal{U}| \leq |\mathbb{Q}^{\mathbb{N}}|=\mathfrak{c}, jeśli przez \mathcal{U} oznaczyć rodzinę wszystkich otwartych podzbiorów \mathbb{R}. Druga nierówność jest natychmiastowa.
Góra
Mężczyzna Offline
 Tytuł: Moc zbioru
PostNapisane: 14 sty 2017, o 10:24 
Użytkownik

Posty: 127
Lokalizacja: Polska
drugą nierówność można w ten sposób?
Niech X = \{(x, x+1) : x \in \RR \}
Wtedy zbiór X jest równoliczny ze zbiorem \RR, więc |X| = \mathfrak{c} oraz |X|  \le |U|

Nie do końca rozumiem podanej przez ciebie nierówności
Dlaczego a_{n}, b_{n} muszą być wymierne?
Dlaczego |\mathcal{U}| \leq |\mathbb{Q}^{\mathbb{N}}| ?
Góra
Mężczyzna Offline
 Tytuł: Moc zbioru
PostNapisane: 14 sty 2017, o 13:25 
Moderator
Avatar użytkownika

Posty: 7178
Lokalizacja: Wrocław
cis123 napisał(a):
drugą nierówność można w ten sposób?
Niech X = \{(x, x+1) : x \in \RR \}
Wtedy zbiór X jest równoliczny ze zbiorem \RR, więc |X| = \mathfrak{c} oraz |X|  \le |U|

Dobrze.

cis123 napisał(a):
Dlaczego a_{n}, b_{n} muszą być wymierne?
Dlaczego |\mathcal{U}| \leq |\mathbb{Q}^{\mathbb{N}}| ?

Staramy się ograniczyć od góry moc rodziny wszystkich otwartych podzbiorów \RR. Wobec tego zauważamy, że każdy otwarty podzbiór G \subset \RR może być zapisany w postaci

G = \bigcup_{n=1}^{\infty} (a_n, b_n),

gdzie a_n, b_n są liczbami wymiernymi. Innymi słowy, mamy rodzinę

\mathcal{H} = \left\{ \bigcup_{n=1}^{\infty} (a_n, b_n) : (\forall n \in \NN) \, a_n, b_n \in \QQ \right\}

indeksowaną parami ciągów ( (a_n), (b_n) ) \in \QQ^{\NN} \times \QQ^{\NN}. Skoro takich par ciągów jest |\QQ^{\NN} \times \QQ^{\NN}| = \mathfrak{c}, to rodzina \mathcal{H} jest najwyżej takiej mocy. Ale wobec wcześniejszej uwagi, elementy tej rodziny wyczerpują wszystkie zbiory otwarte, więc tychże zbiorów otwartych też jest co najwyżej continuum.

Ciągi a_n, b_n nie muszą być ciągami liczb wymiernych. Cały argument można przeprowadzić przy założeniu, że a_n, b_n są rzeczywiste, i zadziała tak samo dobrze.
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 9 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 Moc zbioru - zadanie 11  DBoniem  15
 Moc zbioru - zadanie 41  marcelby  12
 Moc zbioru - zadanie 17  fiolunia3  6
 moc zbioru - zadanie 13  ct985  5
 moc zbioru - zadanie 9  Rafix_  2
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) ParaRent.com