szukanie zaawansowane
 [ Posty: 3 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 11 sty 2017, o 21:45 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 123
Lokalizacja: Nowy Sącz
Udowodnij, że jeżeli liczba 1+3^{n}+5^{n} jest pierwsza, to liczba n jest podzielna przez 12.
Ukryta treść:    
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 11 sty 2017, o 22:48 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 9808
Lokalizacja: Wrocław
Faktycznie wystarczy rozważyć reszty z dzielenia przez 3, \quad 5 i 7.

Ponieważ 5^2\equiv 1\pmod{3}, zatem
5^{2k}\equiv 1\pmod{3},\\ 5^{2k+1}\equiv 2\pmod{3}
czyli gdy n jest nieparzyste, to 1+3^n+5^n\equiv 0\pmod{3}, więc aby liczba 1+3^n+5^n miała szansę być pierwszą, n musi być parzyste.

Ponieważ 3^4\equiv 1\pmod{5}, więc
3^{4k}\equiv 1\pmod{5}, \\3^{4k+1}\equiv 3\pmod{5},\\ 3^{4k+2}\equiv 4\pmod{5},\\ 3^{4k+3}\equiv 2\pmod{5}
Stąd gdy n=4k+2, to 1+3^n+5^n\equiv 0\pmod{5}, czyli n=4k+2, k \in \NN odpada.

Ponieważ 3^3\equiv -1\pmod{7} oraz 5^3\equiv -1 \pmod{7}, co łatwo można wyliczyć ręcznie, dostajemy, że
1+3^{3k}+5^{3k}\equiv 1+(-1)^k+(-1)^k\pmod{7},
a oczywiście liczba 1+2(-1)^k nie jest podzielna przez 7 dla żadnego k naturalnego, bo jest równa 3 albo -1
Ponadto
1+3^{3k+1}+5^{3k+1}\equiv 1+8\cdot (-1)^k\pmod{7}, \\1+3^{3k+2}+5^{3k+2}\equiv 1+(-1)^k \cdot 34\pmod{7}
Już wcześniej uzasadniliśmy, że wykładnik musi być parzysty i nie być postaci 4k+2 dla żadnego k \in \NN, a więc musi być podzielny przez 4.
Jeżeli zaś liczba postaci 3k+1 dzieli się przez 4, to k musi być nieparzyste (inaczej 3k+1 byłoby nieparzyste), ale gdy k nieparzyste, to
1+8(-1)^k=-7, co dzieli się przez 7 - więc wtenczas liczba 1+3^{3k+1}+5^{3k+1} nie jest pierwsza.
Podobnie gdy liczba postaci 3k+2 dla pewnego k \in \NN ma być podzielna przez 4, to liczba 3k musi być parzysta, a więc k jest parzysta,
a wówczas 1+3^{3k+2}+5^{3k+2}\equiv 35\pmod{7}, więc liczba 1+3^{3k+2}+5^{3k+2} nie jest pierwszą, bo dzieli się przez 7.
Podsumowując, pokazaliśmy, że aby 1+3^n+5^n była liczba pierwszą, musi być 3|n \wedge 4|n, a więc 12|n
Straszna dłubanina. Czy istnieje ładniejsze rozwiązanie? (nie chodzi o zapisanie tego samego krócej, tylko o faktycznie zgrabniejsze i krótsze rozwiązanie).
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 11 sty 2017, o 23:11 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 123
Lokalizacja: Nowy Sącz
Szczerze to nie wiem, ja zrobiłem dokładnie tak jak Ty. Może ktoś inny na coś wpadnie?
Ciekawostka: dla n=12 liczba z zadania jest pierwsza ;)
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 3 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 wyznaczyc ze liczba jest podzielna przez inna.  owwca  4
 Podzielność, liczby złożone  Archaniol  2
 Znajdź reszte z dzielenia 2^2^2^2^2^2 przez 21  Anonymous  2
 Podzielnośc  mol_ksiazkowy  5
 Jak udowodnić podzielność?  Grief  7
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl