szukanie zaawansowane
 [ Posty: 13 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna Offline
 Tytuł: Kąt prosty
PostNapisane: 19 sty 2017, o 17:24 
Użytkownik

Posty: 1
Lokalizacja: Warszawa
Witam. Proszę o pomoc w zadaniu.
Wykaż, że wskazany kąt jest prosty.
Obrazek
Góra
Mężczyzna Offline
 Tytuł: Kąt prosty
PostNapisane: 19 sty 2017, o 23:25 
Użytkownik

Posty: 5268
Lokalizacja: Staszów
Konstrukcje rysunku do dowodu w załączniku.

Obrazek

Dowód: ramiona kąta to przekątne kwadratów o wspólnym boku i punkcie. Kąt jest więc równy podwojonemu kątowi \frac{ \pi }{4} zawartemu między przekątną kwadratu a jego bokiem.
Góra
Mężczyzna Offline
 Tytuł: Kąt prosty
PostNapisane: 19 sty 2017, o 23:53 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 1365
Lokalizacja: Katowice
mam wrażenie, że w wiadomości powyżej po cichu założono, że wyjściowy trójkąt jest równoramienny, a wcale nie musi być
Góra
Mężczyzna Offline
 Tytuł: Kąt prosty
PostNapisane: 20 sty 2017, o 00:10 
Użytkownik

Posty: 5268
Lokalizacja: Staszów
Zachowując równość b tych trzech boków, które łatwo wrysować w te trzy okręgi i przepołowić czwarty bok punktem M, nie otrzymamy wymaganego w zadaniu kąta 120^o. Tu jest ukryte owe jak Kolega pisze "milczące założenie".
Góra
Mężczyzna Offline
 Tytuł: Kąt prosty
PostNapisane: 20 sty 2017, o 01:02 
Użytkownik

Posty: 1997
Lokalizacja: Warszawa
Posłużmy się rysunkiem kol. kruszewskiego (jako gotowym rysunkiem, a nie konstrukcją geometryczną) i rozpatrzmy trapez równoramienny o podstawie 2a, bokach i drugiej podstawie równych b Z rysunku wynika, że kąty przy podstawie trapezu są równe

\alpha= 30^o

Łatwo policzyć, że wysokość tego trapezu jest równa h= \frac{1}{2}b

(oraz, że a=b \frac{1+ \sqrt{2} }{2} co zresztą do niczego nie jest potrzebne :) )

Oznaczmy przez N punkt przecięcia prostej prostopadłej do podstawy trapezu przechodzącej przez punkt O_2. Łatwo pokazać, że

MN=NO_2= h= \frac{1}{2}b

ergo trójkąt MNO_2 jest trójkątem prostokątnym równoramiennym, co oznacza, że

\angle \ O_2MN =  \frac{1}{4}\pi

W związku z tym

\angle \ O_1MO_2 =  \frac{1}{2}\pi

:)
Góra
Mężczyzna Offline
 Tytuł: Kąt prosty
PostNapisane: 20 sty 2017, o 12:13 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 1365
Lokalizacja: Katowice
Koledzy, przecież może się zdarzyć, że ten trójkąt nie jest równoramienny, że nie ma tam żadnego trapezu, itd., wystarczy zacząć rysować poniższy rysunek od trójkąta AEF
\begin{tikzpicture}[line cap=round,line join=round,>=triangle 45,x=1.0cm,y=1.0cm]
\clip(-6.2,-2.4) rectangle (6.94,3.44);
\draw [shift={(1.24,2)},color=black] (0,0) -- (-154.29:0.6) arc (-154.29:-34.29:0.6) -- cycle;
\draw[color=black] (0.53,-0.54) -- (0.22,-0.25) -- (-0.07,-0.56) -- (0.25,-0.85) -- cycle; 
\draw (2.23,1.32)-- (-1.45,0.7);
\draw (0.4,0.92) -- (0.37,1.1);
\draw (2.23,1.32)-- (0.25,-0.85);
\draw (0.25,-0.85)-- (-1.45,0.7);
\draw (-4.82,-0.92)-- (-1.45,0.7);
\draw (-3.18,-0.03) -- (-3.1,-0.19);
\draw (2.23,1.32)-- (5.32,-0.78);
\draw (3.82,0.35) -- (3.72,0.2);
\draw (1.24,2)-- (2.23,1.32);
\draw (1.24,2)-- (-1.45,0.7);
\draw (-4.82,-0.92)-- (0.25,-0.85);
\draw (-2.32,-0.79) -- (-2.32,-0.97);
\draw (-2.25,-0.79) -- (-2.25,-0.97);
\draw (0.25,-0.85)-- (5.32,-0.78);
\draw (2.75,-0.73) -- (2.75,-0.91);
\draw (2.82,-0.72) -- (2.82,-0.9);
\fill [color=black] (1.24,2) circle (1.5pt);
\draw[color=black] (1.4,2.26) node {$A$};
\fill [color=black] (2.23,1.32) circle (1.5pt);
\draw[color=black] (2.4,1.58) node {$E$};
\draw[color=black] (1.20,1.66) node {$120^\circ$};
\fill [color=black] (-1.45,0.7) circle (1.5pt);
\draw[color=black] (-1.7,0.92) node {$F$};
\fill [color=black] (5.32,-0.78) circle (1.5pt);
\draw[color=black] (5.48,-0.52) node {$C$};
\fill [color=black] (-4.82,-0.92) circle (1.5pt);
\draw[color=black] (-4.82,-1.22) node {$B$};
\fill [color=black] (0.25,-0.85) circle (1.5pt);
\draw[color=black] (0.34,-1.16) node {$D$};
\end{tikzpicture}
rozwiązanie:    
Góra
Mężczyzna Offline
 Tytuł: Kąt prosty
PostNapisane: 20 sty 2017, o 12:25 
Użytkownik

Posty: 1997
Lokalizacja: Warszawa
Nie może się tak zdarzyć - popatrz na boki tego trapezu: 2a, \ b, \ b, \ b
Góra
Mężczyzna Offline
 Tytuł: Kąt prosty
PostNapisane: 20 sty 2017, o 13:25 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 1365
Lokalizacja: Katowice
powtórzę: to nie musi być trapez
Góra
Mężczyzna Offline
 Tytuł: Kąt prosty
PostNapisane: 20 sty 2017, o 13:34 
Użytkownik

Posty: 5268
Lokalizacja: Staszów
Ale jak jest pewność tego, że punkt F przynależy do EB?
Góra
Mężczyzna Offline
 Tytuł: Kąt prosty
PostNapisane: 20 sty 2017, o 14:01 
Użytkownik

Posty: 2366
Lokalizacja: Kraków
kruszewski napisał(a):
Ale jak jest pewność tego, że punkt F przynależy do EB?

A gdzie jest tak napisane?
Góra
Mężczyzna Offline
 Tytuł: Kąt prosty
PostNapisane: 21 sty 2017, o 03:41 
Użytkownik

Posty: 5268
Lokalizacja: Staszów
Pisze Pan timon92
"zatem trójkąt FBG jest równoboczny, bo jest równoramienny i ma kąt 60^\circ, "
Zapytam więc czy zawsze?
Góra
Mężczyzna Offline
 Tytuł: Kąt prosty
PostNapisane: 21 sty 2017, o 08:11 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 1365
Lokalizacja: Katowice
no tak, przecież wcześniej wykazałem, że odcinki BG i BF są równe odcinkowi EC a poza tym \angle GBF = 60^\circ
Góra
Mężczyzna Offline
 Tytuł: Kąt prosty
PostNapisane: 21 sty 2017, o 12:44 
Użytkownik

Posty: 5268
Lokalizacja: Staszów
Jest to więc rozwiązanie ogólne dla zaznaczonego kąta \alpha =120^o
W.Kr.
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 13 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 kąt prosty  tukanik  4
 prosty dowód - zadanie 10  Rafsaf  2
 Bardzo prosty problem  larwalarwa  3
 trapez prosty  dark0011  15
 obliczanie środkowej trójkąta (dziwny - prosty problem)  falas  2
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl