szukanie zaawansowane
 [ Posty: 11 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 23 sty 2017, o 21:59 
Użytkownik

Posty: 10
Lokalizacja: Elbląg
Siemka mógłby ktoś pomóc mi to wytłumaczyć
Pokazac, ze dla k = 0, 1, 2, \ldots , n, oraz n = 1, 2, 3, \ldots mamy
{n \choose k} = {n -1\choose k -1} +  {n -1 \choose k}
oraz wykorzystac to w dowodzie indukcyjnym tzw. wzoru dwumianowego Newtona
(a+b) ^{n}= \sum_{k=0}^{n} {n \choose k} a ^{k} b ^{n-k}
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 23 sty 2017, o 22:20 
Użytkownik

Posty: 12578
Lokalizacja: Bydgoszcz
A jaką masz definicję symbolu \binom{n}{k}?
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 23 sty 2017, o 22:32 
Użytkownik

Posty: 10
Lokalizacja: Elbląg
Że k=0,1,2,\ldots,n a n=1,2,3,\ldots Tak?
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 23 sty 2017, o 22:36 
Użytkownik

Posty: 12578
Lokalizacja: Bydgoszcz
Pytam jak obliczasz wartośc tego symbolu.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 23 sty 2017, o 22:42 
Użytkownik

Posty: 10
Lokalizacja: Elbląg
\frac{n!}{k!(n-k)!} Przepraszam ale noga jestem z logiki i tak nie do końca jest dla mnie to logiczne.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 23 sty 2017, o 22:52 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 9856
Lokalizacja: Wrocław
Jeżeli masz udowodnić, iż {n \choose k} = {n -1\choose k -1} + {n -1 \choose k},
to możesz po prostu rozpisać prawą stronę jako \frac{(n-1)!}{(k-1)!(n-k)!} + \frac{(n-1)!}{k!(n-k-1)!} i sprowadzić do wspólnego mianownika. Wyjdzie Ci zapewne \frac{n!}{k!(n-k)!}, a tyle jest równa lewa strona tezy.
Można również napisać bajkę kombinatoryczną, ale nie wiem, czy masz świadomość, że {n \choose k} wynosi liczba podzbiorów k-elementowych zbioru o n elementach.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 23 sty 2017, o 22:52 
Użytkownik

Posty: 12578
Lokalizacja: Bydgoszcz
No to po prostu wstaw to wyrażenie do prawej strony wzoru, wyciagnij przed nawias co się da, sprowadz do wspólnego mianownika i zobacz, co wyszło
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 23 sty 2017, o 22:57 
Użytkownik

Posty: 10
Lokalizacja: Elbląg
Dzięki wielkie a tamta druga część ?
(a+b) ^{n}= \sum_{k=0}^{n} {n \choose k} a ^{k} b ^{n-k}
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 23 sty 2017, o 23:08 
Użytkownik

Posty: 12578
Lokalizacja: Bydgoszcz
Zrób krok indukcyjny, to zobaczysz
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 23 sty 2017, o 23:11 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 9856
Lokalizacja: Wrocław
Pierwszy krok indukcyjny jest banalny: sprawdzasz, że ta równość zachodzi dla n=1. Chyba sobie z tym poradzisz?

Drugi krok indukcyjny: pokazujesz, że jeżeli dla pewnego n \in \NN zachodzi
(a+b)^n=\sum_{k=0}^{n} {n \choose k} a ^{k} b ^{n-k},
to także
(a+b)^{n+1}=\sum_{k=0}^{n+1} {n+1 \choose k} a ^{k} b ^{n+1-k},
tj. jeśli równość jest prawdziwa dla pewnego n, to jest też prawdziwa dla n+1.

Wskazówka:
(a+b)^{n+1}=(a+b)\cdot (a+b)^n i teraz skorzystaj z założenia indukcyjnego.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 23 sty 2017, o 23:20 
Użytkownik

Posty: 10
Lokalizacja: Elbląg
Dzięki bardzo za pomoc już wiem jak to zrobić.
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 11 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 Czy wzór jest poprawny?  Hebo  1
 Dwumian Newtona - wykaże, że ...  Stonek  2
 Przekształcony symbol newtona  MrOmega  3
 Wzór - wyznaczanie jednej niewiadomej  GlenPL  4
 Dwumian Newtona - zadanie 22  Seifer  4
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl