szukanie zaawansowane
 [ Posty: 10 ] 
Autor Wiadomość
Kobieta Online
PostNapisane: 24 sty 2017, o 21:39 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 636
Lokalizacja: Wrocław
Na kole opisano trójkąt równoramienny o najmniejszym ramieniu. Znaleźć stosunek pola koła do pola tego trójkąta.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 24 sty 2017, o 22:38 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 268
Lokalizacja: Łódzkie
Środek okręgu wpisanego w trójkąt równoramienny leży gdzieś na jego wysokości. Oznaczmy jego ramię jako x, podstawę jako a oraz wysokość jako h. Wówczas korzystajac dwukrotnie z tw. Pitagorasa i z tego, że środek okręgu wpisanego leży na przecięciu dwusiecznych (z tego mamy przystawanie par trójkątów, na które dzielą trójkąt jego dwusieczne i promienie okręgu poprowadzone na boki) mamy: h^{2} + \frac{1}{4} a^{2} = x^{2} oraz r^{2} + (x - \frac{1}{2}a)^{2} = (h - r)^{2}. Z pierwszego wyznaczamy h i wstawiamy do drugiego, powstaje równanie kwadratowe i traktujemy x jako niewiadomą. Jedno z rozwiązań odpadnie ze względu na nierówność trójkąta. Drugie możemy potraktować jako funkcję, która przyporządkuje a odpowiednie x, liczymy ekstrema i powinno być ok, chociaż ten stosunek mi dość brzydki wyszedł :(. Masz może odpowiedzi?
Góra
Kobieta Online
PostNapisane: 24 sty 2017, o 22:52 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 636
Lokalizacja: Wrocław
Tak, \frac{\sqrt{2\left( 13\sqrt5-29\right) }\pi}{2}

Ale po wstawieniu h mamy trzy niewiadome: x, a, r.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 24 sty 2017, o 23:06 
Użytkownik

Posty: 787
Lokalizacja: Górnicza Dolina
Z zależności trygonometrycznych można dostać trzy równania
\frac{2r}{a}= \tg \alpha
\frac{2h}{a}= \tg 2 \alpha
\frac{r}{h-r}= \cos 2 \alpha
2 \alpha - kąt przy podstawie
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 24 sty 2017, o 23:11 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 268
Lokalizacja: Łódzkie
Zgadza się, ale właśnie jak wyrazimy pole tego trójkąta przy uzyciu r, to możemy obliczyć stosunek tego pola do pola koła, więc można potraktować to jako daną.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 25 sty 2017, o 01:00 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 5529
Niech ramieniem będzie d, podstawą trójkata a, a kątem między nimi 2 \alpha. R to promień okręgu wpisanego.
\frac{ \frac{a}{2} }{R}=\red \ctg \black \alpha \\
  \frac{ \frac{a}{2} }{d} =\cos 2 \alpha
Stąd
d( \alpha ) = \frac{R \ctg \alpha  }{\cos 2 \alpha }
Z WK istnienia ekstremum mam (po przekształceniach) równanie:
\cos^2 2\alpha +\cos  2\alpha-1=0
\cos 2\alpha= \frac{-1+ \sqrt{5} }{2}  \vee \cos 2\alpha= \frac{-1- \sqrt{5} }{2}<-1
Szukany stosunek:
\frac{ \pi R^2}{ \frac{1}{2}d^2\sin \left(  \pi -4 \alpha \right)  } =\frac{ \pi R^2}{ \frac{1}{2}\frac{R^2 \ctg^2 \alpha  }{\cos^2 2 \alpha } 2\sin 2 \alpha \cos 2 \alpha   }=\frac{ \pi \cos 2 \alpha \sin^2 \alpha }{\cos^2 \alpha \sin 2 \alpha }=\\= \frac{ \pi \cos 2 \alpha \cdot   \frac{1}{2}(1- \cos 2 \alpha) }{ \frac{1}{2}( \cos 2 \alpha+1) \sqrt{1-  \cos^2 2 \alpha} }=...
Wystarczy wstawić teraz
\cos 2\alpha= \frac{-1+ \sqrt{5} }{2}
i wyliczyć to pole.

Edit:
Skasowałem jeden błędny kwadrat i sprawiłem że wyświetlił się kotanges (na czerwono)
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 25 sty 2017, o 01:10 
Użytkownik

Posty: 787
Lokalizacja: Górnicza Dolina
kerajs, zgubiłeś \ctg w pierwszym równaniu.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 25 sty 2017, o 13:41 
Użytkownik

Posty: 105
Lokalizacja: Wrocław
bok a trójkąta ma najmniejszą wartość dla a= \frac{r}{\sin ( \alpha )} gdzie \alpha to kąt przy wierzchołku.
Góra
Kobieta Online
PostNapisane: 25 sty 2017, o 19:06 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 636
Lokalizacja: Wrocław
kerajs napisał(a):
Z WK istnienia ekstremum mam (po przekształceniach) równanie:
\cos^2 2\alpha +\cos^2 2\alpha-1=0

Z tego wychodzi \cos2\alpha=\frac{\sqrt2}{2}\ \  \Rightarrow \ \ \alpha=\frac{\pi}{8}\ ?

-- 25 sty 2017, o 18:22 --

Brombal napisał(a):
bok a trójkąta ma najmniejszą wartość dla a= \frac{r}{\sin ( \alpha )} gdzie \alpha to kąt przy wierzchołku.

Musi być a>2r\ \  \Rightarrow \ \ \sin\alpha<\frac12\ \  \Rightarrow \ \ \alpha<30^{\circ} \ ???

kerajs napisał(a):
\cos 2\alpha= \frac{-1+ \sqrt{5} }{2}

z tego wynika, że 2\alpha \approx 51,82729^{\circ} (tutaj 2\alpha to kąt przy podstawie)
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 25 sty 2017, o 22:19 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 5529
kinia7 napisał(a):
kerajs napisał(a):
Z WK istnienia ekstremum mam (po przekształceniach) równanie:
\cos^2 2\alpha +\cos^2 2\alpha-1=0

Z tego wychodzi \cos2\alpha=\frac{\sqrt2}{2}\ \  \Rightarrow \ \ \alpha=\frac{\pi}{8}\ ?

Tam był nadmiarowy kwadrat. Równanie to miało mieć postać:
\cos^2 2\alpha +\cos 2\alpha-1=0
o czym świadczyły jego rozwiązania.

kinia7 napisał(a):
kerajs napisał(a):
\cos 2\alpha= \frac{-1+ \sqrt{5} }{2}

z tego wynika, że 2\alpha \approx 51,82729^{\circ} (tutaj 2\alpha to kąt przy podstawie)

Zgadza się. Kąt między ramieniem a podstawą w trójkącie o najkrótszych ramionach to około 51^{\circ}49'38''
Jeżeli wstawisz do wyprowadzonego ostatniego wzorku na stosunek pól wartość \cos 2\alpha= \frac{-1+ \sqrt{5} }{2} to otrzymasz wynik który wcześniej podałaś.
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 10 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 Trójkąt i wysokości - zadanie 2  pvnrt  1
 trójkąt prostokatny-rozwiązane - zadanie 137  leszekgrucel  11
 trójkąt równoboczny i koło  Żelazny  1
 Trójkąt równoramienny - zadanie 30  RAFAELLO14  4
 okrąg wpisany w trójkąt prostokątny - zadanie 7  ola123_89  1
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl