szukanie zaawansowane
 [ Posty: 3 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 27 sty 2017, o 13:24 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 561
Lokalizacja: Wrocław (UWr) / Pułtusk
Witam, czy wie ktoś może jak pokazać, że jeśli X jest zwartą przestrzenią Hausdorffa, której baza ma moc \leq \aleph_1 to wtedy X jest ciągłym obrazem \beta \omega \setminus \omega ?
Uniwersytet Wrocławski Instytut Matematyczny - rekrutacja 2018
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 25 lip 2017, o 19:17 
Moderator
Avatar użytkownika

Posty: 7766
Lokalizacja: Wrocław
Trudne. :?


Niech X będzie zwartą przestrzenią Hausforffa o bazie mocy \le \aleph_1.

1. W szczególności X jest przestrzenią \textstyle{T3 \frac{1}{2}} o ciężarze \le \aleph_1, więc jest homeomorficzna z podzbiorem F' \subseteq [0, 1]^{\omega_1}, który ze zwartości X musi być domknięty.

Wiadomo, że istnieje ciągła surjekcja \psi : \{ 0, 1 \}^{\omega_1} \to [0, 1]^{\omega_1}.
Biorąc F = \psi^{-1}[ F' ] i \psi_0 = \psi \upharpoonright F, otrzymujemy ciągłą surjekcję \psi_0 : F \to F' z niepustego, domkniętego podzbioru F \subseteq \{ 0, 1 \}^{\omega_1} na F'.

\begin{array}{ccccc}
\psi & : & \phantom{^{\omega_1}}\{ 0, 1 \}^{\omega_1} & \to & \phantom{^{\omega_1}}[0, 1]^{\omega_1} \\
$\rotatebox{90}{$\subseteq$}$ & & $\rotatebox{90}{$\subseteq$}$ & & $\rotatebox{90}{$\subseteq$}$ \\
\psi_0 & : & F & \to & F'
\end{array}

Pozostaje więc pokazać, że F jest ciągłym obrazem \beta \omega \setminus \omega.


2. W celu przeprowadzenia dalszej konstrukcji wprowadzimy trochę notacji pomocniczej.

\bullet Niech \Phi będzie rodziną wszystkich funkcji f : S \to \{ 0, 1 \}, takich że S \subseteq \omega_1.
\bullet Niech \Phi_0 będzie rodziną funkcji jak wyżej, przy czym S jest skończony.
\bullet Dla dowolnego zbioru Y, rodziny jego podzbiorów \left< A_{\alpha} : \alpha < \omega_1 \right> i funkcji f \in \Phi oznaczamy

\left< f, (A_{\alpha}) \right> = \bigcap \big[ \{ A_{\alpha} : f(\alpha) = 1 \} \cup \{ Y \setminus A_{\alpha} : f(\alpha) = 0 \} \big].

W szczególności \left< \varnothing, (A_{\alpha}) \right> = Y.

Zauważmy, że jeśli f \in \Phi oraz \mathrm{dom} \, f \subseteq T \subseteq \omega_1, to zbiory \{ \left< g, (A_{\alpha}) \right> : f \subseteq g \wedge \mathrm{dom} \, g = T \} są parami rozłączne i sumują się do \left< f, (A_{\alpha}) \right>.

\bullet Niech B_{\alpha} = \{ s \in \{ 0, 1 \}^{\omega_1} : s(\alpha) = 1 \}. Zauważmy, że (\forall f \in \Phi) \, \left< f, (B_{\alpha}) \right> = \{ s \in \{ 0, 1 \}^{\omega_1} : f \subseteq s \}.

\bullet Niech \mathcal{F} = \{ f \in \Phi_0 : \left< f, (B_{\alpha}) \right> \cap F \neq \varnothing \}. Zauważmy, że rodzina \mathcal{F} całkowicie charakteryzuje zbiór F poprzez warunek

s \in F \iff s \in \overline{F} \iff (\forall S \underset{\text{sk.}}{\subseteq} \omega_1) \, s \upharpoonright S \in \mathcal{F}.

Wprost z definicji rodziny \mathcal{F} wynikają własności:

() \varnothing \in \mathcal{F};

(i) \mathcal{F} jest zamknięta na obcięcia, tj. jeśli f \in \mathcal{F} i S \subseteq \mathrm{dom} \, f, to f \upharpoonright S \in \mathcal{F};

(ii) Własność rozszerzania: jeśli f \in \mathcal{F} i \mathrm{dom} \, f \subseteq S \subseteq \omega_1 jest skończony, to istnieje f \subseteq g : S \to \{ 0, 1 \}, takie że g \in \mathcal{F}.


Idea konstrukcji jest następująca: załóżmy, że \varphi : \beta \omega \setminus \omega \to \{ 0, 1 \}^{\omega_1} jest szukaną funkcją ciągłą, tj. \mathrm{im} \, \varphi = F. Rozważmy rodzinę A_{\alpha} = \varphi^{-1}[ B_{\alpha} ]. Z uwagi na ciągłość \varphi składa się ona z otwarto-domkniętych podzbiorów \beta \omega \setminus \omega i ponadto

(\forall s \in \{ 0, 1 \}^{\omega_1}) \, \varphi^{-1}[ \{ s \} ] = \varphi^{-1} \left[ \left< s, B_{\alpha} \right> \right] = \left< s, A_{\alpha} \right>

i wtedy dla każdego s \in \{ 0, 1 \}^{\omega_1} zbiór \left< s, A_{\alpha} \right> jest niepusty wtedy i tylko wtedy, gdy s \in F.

Pomysł polega na tym, aby odwrócić tę obserwację: jeśli uda się nam skonstruować rodzinę \left< A_{\alpha} : \alpha < \omega_1 \right> otwarto-domkniętych podzbiorów \beta \omega \setminus \omega o powyższej własności, to można z niej odzyskać funkcję \varphi. Dokładniej, określmy \varphi : \beta \omega \setminus \omega \to \{ 0, 1 \}^{\omega_1} poprzez

\varphi(u)(\alpha) = \begin{cases} 1 & \text{gdy } u \in A_{\alpha} \\ 0 & \text{gdy } u \notin A_{\alpha} \end{cases}

Ponieważ \{ B_{\alpha} : \alpha < \omega_1 \} \cup \{ B_{\alpha}^c : \alpha < \omega_1 \} stanowi podbazę \{ 0, 1 \}^{\omega_1} oraz

\varphi^{-1}[B_{\alpha}] = A_{\alpha} \\[1ex]
\varphi^{-1}[B_{\alpha}^c] = A_{\alpha}^c,

więc \varphi jest ciągła. Ponadto z założenia o rodzinie A_{\alpha} wynika, że dla każdego s \in \{ 0, 1 \}^{\omega_1}

s \in \mathrm{im} \, \varphi \Leftrightarrow \varphi^{-1}[ \{ s \} ] \neq \varnothing \Leftrightarrow \left< s, A_{\alpha} \right> \neq \varnothing \Leftrightarrow s \in F

czyli \mathrm{im} \, \varphi = F.


3. Zauważmy, że warunek

(\forall s \in \{ 0, 1 \}^{\omega_1}) \big[ \left< s, A_{\alpha} \right> \neq \varnothing \iff s \in F \big]

można przekształcić do

(\forall f \in \Phi_0) \, \big[ \left< f, A_{\alpha} \right> \neq \varnothing \iff f \in \mathcal{F} \big].

Motywacja za tym przekształceniem jest taka, żeby trudny warunek s \in F, zależny od potencjalnie złożonej struktury zbioru domkniętego F, zastąpić przez prostszy warunek f \in \mathcal{F}, co sprowadza się do możliwej do przetrawienia kombinatoryki; co więcej, drugi warunek ma skończony charakter, tj. zależy tylko od skończenie wielu zbiorów A_{\alpha}, co przyda się przy konstrukcji indukcyjnej.

Dowód:    



4. Parę uwag o przestrzeni \beta \omega \setminus \omega.

Jak w każdej przestrzeni topologicznej, zbiory otwarto-domknięte w \beta \omega \setminus \omega tworzą algebrę Boole'a, oznaczaną przez \mathrm{Clop}(\beta \omega \setminus \omega).

Przestrzeń \beta \omega \setminus \omega ma bazę \mathcal{B} = \{ [A] : A \subseteq \NN \}, złożoną ze zbiorów otwarto-domkniętych, gdzie

[A] = \{ u \in \beta \omega \setminus \omega : A \in u \}.

Wtedy [A] \subseteq [B] \iff |A \setminus B| < \aleph_0 (w szczególności [A] = \varnothing wtedy i tylko wtedy, gdy A jest skończony), a ponadto

[A \cup B] = [A] \cup [B] \\ {}
[A \cap B] = [A] \cap [B] \\ {}
[A^c] = [A]^c \\ {}
[\varnothing] = \varnothing, \quad [\NN] = \beta \omega \setminus \omega,

tj. \mathcal{P}(\NN) \ni A \mapsto [A] \in \mathrm{Clop}(\beta \omega \setminus \omega) jest homomorfizmem algebr Boole'a. Dokładniej, na zbiorze \mathcal{P}(\NN) zadajmy relację

A \sim B \iff |A \Delta B| < \aleph_0.

Jest to relacja równoważności respektowana przez działania boolowskie \cup, \cap, \cdot^c, więc \mathcal{P}(\NN) / {\sim} ma naturalną strukturę algebry Boole'a. Odwzorowanie \mathcal{P}(\NN) / {\sim} \ni A / {\sim} \mapsto [A] \in \mathrm{Clop}(\beta \omega \setminus \omega) jest izomorfizmem algebr Boole'a. W szczególności jest surjekcją, bo w przestrzeni zwartej z bazą złożoną ze zbiorów otwarto-domkniętych każdy zbiór otwarto-domknięty jest skończoną sumą zbiorów bazowych.


Wynika stąd, że rodzina, którą skonstruujemy, ma wygodniejszą reprezentację \left< C_{\alpha} : \alpha < \omega_1 \right> \subseteq \mathcal{P}(\NN) gdzie A_{\alpha} = [C_{\alpha}]. Każdy zbiór C_{\alpha} może być określony z dokładnością do skończenie wielu elementów, ale w konstrukcji będzie on zdefiniowany konkretnie. Dla f \in \Phi_0 mamy

\left< f, A_{\alpha} \right> \neq \varnothing \Leftrightarrow \left< f, [C_{\alpha}] \right> \neq \varnothing \Leftrightarrow [\left< f, C_{\alpha} \right>] \neq \varnothing \Leftrightarrow  |\left< f, C_{\alpha} \right>| \ge \aleph_0,

więc kluczowy warunek przyjmuje postać

$ \begin{equation} (\forall f \in \Phi_0) \, \big[ |\left< f, C_{\alpha} \right>| \ge \aleph_0 \iff f \in \mathcal{F} \big].  \tag{\ast}\end{equation}$


5. Nadeszła pora, żeby skonstruować rodzinę \left< C_{\alpha} : \alpha < \omega_1 \right> o deklarowanych własnościach. Konstrukcja będzie indukcyjna względem \alpha < \omega_1.

Lemat. Niech \beta < \omega_1 i załóżmy, że \left< C_{\alpha} : \alpha < \beta \right> jest rodziną podzbiorów \NN, która spełnia częściowy warunek (\ast), tzn. dla dowolnej funkcji f \in \Phi_0 jeśli \mathrm{dom} \, f \subseteq \beta, to

|\left< f, C_{\alpha} \right>| \ge \aleph_0 \iff f \in \mathcal{F}.

Wtedy istnieje takie C_{\beta} \subseteq \NN, że rodzina \left< C_{\alpha} : \alpha \le \beta \right> także spełnia częściowy warunek (\ast).

Dowód.
\mathrm{I} Jeśli \beta < \omega:
Zauważmy, że częściowe spełnianie przez rodzinę \left< C_{\alpha} : \alpha \le \beta \right> warunku (\ast) jest równoważne temu, że dla każdej funkcji g : \beta^+ \to \{ 0, 1 \} zachodzi

|\left< g, C_{\alpha} \right>| \ge \aleph_0 \iff g \in \mathcal{F}.

Dowód:    


Warunek ten można dalej przekształcić do postaci: dla każdej funkcji g : \beta \to \{ 0, 1 \}

(\mathrm{i}) Jeśli g \cup \{ \left< \beta, 1 \right> \} \in \mathcal{F}, to |X \cap \left< g, C_{\alpha} \right>| \ge \aleph_0,

(\mathrm{ii}) Jeśli g \cup \{ \left< \beta, 1 \right> \} \notin \mathcal{F}, to |X \cap \left< g, C_{\alpha} \right>| < \aleph_0,

i analogicznie

(\mathrm{i^c}) Jeśli g \cup \{ \left< \beta, 0 \right> \} \in \mathcal{F}, to |X^c \cap \left< g, C_{\alpha} \right>| \ge \aleph_0,

(\mathrm{ii^c}) Jeśli g \cup \{ \left< \beta, 0 \right> \} \notin \mathcal{F}, to |X^c \cap \left< g, C_{\alpha} \right>| < \aleph_0,

gdzie X = C_{\beta} jest szukanym zbiorem.

Przypomnijmy, że zbiory \left\{ \left< g, C_{\alpha} \right> : g \in \{ 0, 1 \}^{\beta} \right\} są parami rozłączne. Ponadto:

\bullet Jeśli g \notin \mathcal{F}, to poprzednik implikacji w warunku (\mathrm{i}) nie może zajść na mocy własności obcinania, a w warunku (\mathrm{ii}) następnik jest automatycznie spełniony, gdyż |\left< g, C_{\alpha} \right>| < \aleph_0. Podobnie z warunkami (\mathrm{i^c}), (\mathrm{ii^c}). Wystarczy więc spełnić powyższe warunki dla wszystkich funkcji g \in \{ 0, 1 \}^{\beta} \cap \mathcal{F}.

\bullet Jeśli g \in \mathcal{F}, to z własności rozszerzania g \cup \{ \left< \beta, 1 \right> \} \in \mathcal{F} lub g \cup \{ \left< \beta, 0 \right> \} \in \mathcal{F}, więc przypadki (\mathrm{ii}) \: \& \: (\mathrm{ii^c}) nie mogą zajść jednocześnie.


Sytuacja jest zatem następująca: mamy kolekcję parami rozłącznych zbiorów nieskończonych \{ \left< g, C_{\alpha} \right> : g \in \{ 0, 1 \}^{\beta} \cap \mathcal{F} \} sumujących się do zbioru koskończonego w \NN i każdy z nich musimy podzielić na dwie części - X \cap \left< g, C_{\alpha} \right> i X^c \cap \left< g, C_{\alpha} \right> - tak aby były to odpowiednio: zbiór skończony i nieskończony w przypadku (\mathrm{ii}) \: \& \: (\mathrm{i^c}), zbiór nieskończony i skończony w przypadku (\mathrm{i}) \: \& \: (\mathrm{ii^c}) lub dwa zbiory nieskończone w przypadku (\mathrm{i}) \: \& \: (\mathrm{i^c}). Oczywiście można to zrobić.


\mathrm{II} Jeśli \omega \le \beta < \omega_1, to niech \beta = \{ \alpha_n : n < \omega \}. Dla n \in \omega oznaczmy dla zwięzłości zapisu \alpha_{<n} = \{ \alpha_k : k < n \}.

Podobnie jak poprzednio, częściowe spełnianie przez \left< C_{\alpha} : \alpha \le \beta \right> warunku (\ast) jest równoważne temu, że dla każdego n < \omega, dla każdej funkcji g : \alpha_{<n} \cup \{ \beta \} \to \{ 0, 1 \} zachodzi

|\left< g, C_{\alpha} \right>| \ge \aleph_0 \iff g \in \mathcal{F}.

(Wynika to wprost z poprzedniego dowodu oraz obserwacji, że jeśli S \subseteq \beta^+ jest skończony, to S \subseteq \alpha_{<n} \cup \{ \beta \} dla pewnego n < \omega. )

Naśladując postępowanie z poprzedniego punktu, redukujemy ten warunek do postaci: dla każdej funkcji g \in \{ 0, 1 \}^{\alpha_{<n}} \cap \mathcal{F}

\bullet \, |X \cap \left< g, C_{\alpha} \right>| \ge \aleph_0 \iff g \cup \{ \left< \beta, 1 \right> \} \in \mathcal{F}

\bullet \, |X^c \cap \left< g, C_{\alpha} \right>| \ge \aleph_0 \iff g \cup \{ \left< \beta, 0 \right> \} \in \mathcal{F}.

Skonstruujemy przez indukcję ciągi A_n, B_n \subseteq \NN takie, że A_0 = B_0 = \varnothing oraz dla każdego n < \omega

(i) A_n \subseteq A_{n+1}, B_n \subseteq B_{n+1},

(ii) A_n \cap B_n = \varnothing,

(iii) Dla każdej funkcji g \in \{ 0, 1 \}^{\alpha_{<n}} \cap \mathcal{F}:

\bullet jeśli g \cup \{ \left< \beta, 1 \right> \} \notin \mathcal{F}, to B_{n+1} \supseteq \left< g, C_{\alpha} \right> \setminus (A_n \cup B_n) oraz A_{n+1} \cap \left< g, C_{\alpha} \right> jest skończony,

\bullet jeśli g \cup \{ \left< \beta, 0 \right> \} \notin \mathcal{F}, to A_{n+1} \supseteq \left< g, C_{\alpha} \right> \setminus (A_n \cup B_n) oraz B_{n+1} \cap \left< g, C_{\alpha} \right> jest skończony,

\bullet w przeciwnym wypadku A_{n+1} \cap \big[ \left< g, C_{\alpha} \right> \setminus (A_n \cup B_n ) \big] oraz B_{n+1} \cap \big[ \left< g, C_{\alpha} \right> \setminus (A_n \cup B_n ) \big] są jednoelementowe.

(Oczywiście pierwszy i drugi przypadek wykluczają się na mocy własności rozszerzania, bo g \in \mathcal{F}. )

Załóżmy, że zbiory A_{\le n}, B_{\le n} są już skonstruowane. Jak zwykle, rodzina \{ 
\left< g, C_{\alpha} \right> : g \in \{ 0, 1 \}^{\alpha_{<n}} \} tworzy podział \NN na skończenie wiele rozłącznych części. Wystarczy zadać A_{n+1}, B_{n+1} na każdej z nich, a ponadto warunki (i) - (iii) wystarczy sprawdzić na każdej części osobno, przy czym warunek (iii) sprawdzamy tylko dla części, gdzie g \in \mathcal{F}.

Dla zbioru H oznaczmy dla uproszczenia H^{(g)} = H \cap \left< g, C_{\alpha} \right>.


Jeśli n > 0, to zaobserwujmy następujący fakt: niech g' = g \upharpoonright \alpha_{<n-1} i załóżmy, że

g' \cup \{ \left< \beta, 1 \right> \} \in \mathcal{F} oraz g' \cup \{ \left< \beta, 0 \right> \} \in \mathcal{F}.

Wtedy z własności obcinania dla k = 0, 1, \ldots, n-1 zachodzi

g \upharpoonright \alpha_{<k} \cup \{ \left< \beta, 1 \right> \} \in \mathcal{F} oraz g \upharpoonright \alpha_{<k} \cup \{ \left< \beta, 0 \right> \} \in \mathcal{F},

więc z warunku (iii) wynika, że A_n^{(g)} i B_n^{(g)} mają najwyżej n elementów.


Następnie rozważmy przypadki:

\bullet Jeśli g \notin \mathcal{F}, to

A_{n+1}^{(g)} = A_n^{(g)} \\[1ex]
B_{n+1}^{(g)} = B_n^{(g)}.

Warunki (i) - (ii) są oczywiście spełnione.

Pozostałe przypadki rozważamy przy założeniu, że g \in \mathcal{F}.

\bullet Jeśli g \cup \{ \left< \beta, 1 \right> \} \notin \mathcal{F}, to kładziemy

B_{n+1}^{(g)} = B_n^{(g)} \cup \big[ \left< g, C_{\alpha} \right> \setminus (A_n^{(g)} \cup B_n^{(g)}) \big] \\[1ex]
A_{n+1}^{(g)} = A_n^{(g)}.

Warunki (i), (ii) oraz część pierwsza warunku (iii) są spełnione. Pozostaje pokazać, że A_{n+1}^{(g)} = A_n^{(g)} jest skończony. Jeśli n = 0, to jest to prawdą, bo A_0^{(g)} = \varnothing. W przeciwnym razie:

- Jeśli g'  \cup \{ \left< \beta, 1 \right> \} \notin \mathcal{F}, to A_n^{(g)} \subseteq A_n^{(g')}, a zbiór A_n^{(g')} jest skończony z założenia indukcyjnego.

- W przeciwnym razie g' \cup \{ \left< \beta, 1 \right> \} \in \mathcal{F} i oczywiście g' \cup \{ \left< \beta, 0 \right> \} \in \mathcal{F}. Z uwagi na początku A_n^{(g)} jest skończony.

\bullet Jeśli g \cup \{ \left< \beta, 0 \right> \} \notin \mathcal{F}, to kładziemy

A_{n+1}^{(g)} = A_n^{(g)} \cup \big[ \left< g, C_{\alpha} \right> \setminus (A_n^{(g)} \cup B_n^{(g)}) \big] \\[1ex]
B_{n+1}^{(g)} = B_n^{(g)}.

Analogicznie jak w poprzednim przypadku, warunki są spełnione.

\bullet W ostatnim przypadku, skoro z początkowej uwagi zbiory A_n^{(g)}, B_n^{(g)} mają najwyżej po n elementów, to zbiór \left< g, C_{\alpha} \right> \setminus (A_n^{(g)} \cup B_n^{(g)}) jest nieskończony, więc wystarczy wybrać z niego dwa różne elementy a, b i położyć A_{n+1}^{(g)} = A_n^{(g)} \cup \{ a \}, A_{n+1}^{(g)} = B_n^{(g)} \cup \{ b \}.

To kończy konstrukcję. Niech

A = \bigcup_{n=1}^{\infty} A_n, \qquad B = \bigcup_{n=1}^{\infty} B_n.

Pokażemy teraz, że zbiór X = \NN \setminus B spełnia żądane warunki. Niech g \in \{ 0, 1 \}^{\alpha_{<n}} \cap \mathcal{F}. Zachodzi jedna z trzech możliwości:

\bullet g \cup \{ \left< \beta, 1 \right> \} \notin \mathcal{F} oraz g \cup \{ \left< \beta, 0 \right> \} \in \mathcal{F}.

W takim przypadku wystarczy pokazać, że |X \cap \left< g, C_{\alpha} \right>| < \aleph_0, ponieważ wiemy, że |\left< g, C_{\alpha} \right>| \ge \aleph_0, a więc wówczas |X^c \cap \left< g, C_{\alpha} \right>| \ge \aleph_0.

Z konstrukcji B_{n+1} \supseteq \left< g, C_{\alpha} \right> \setminus (A_n \cup B_n), a skoro X \cap B_{n+1} = \varnothing, to X^{(g)} \subseteq A_n^{(g)} \subseteq A_{n+1}^{(g)} i z konstrukcji wynika, że jest to zbiór skończony.


\bullet g \cup \{ \left< \beta, 1 \right> \} \in \mathcal{F} oraz g \cup \{ \left< \beta, 0 \right> \} \notin \mathcal{F}.

Podobnie jak powyżej pokazujemy, że |(\NN \setminus A) \cap \left< g, C_{\alpha} \right>| < \aleph_0, co daje tezę, bo X^c = B \subseteq \NN \setminus A.


\bullet g \cup \{ \left< \beta, 1 \right> \} \in \mathcal{F} oraz g \cup \{ \left< \beta, 0 \right> \} \in \mathcal{F}.

Wystarczy pokazać, że |A \cap \left< g, C_{\alpha} \right>| \ge \aleph_0, bo wtedy analogicznie |B \cap \left< g, C_{\alpha} \right>| \ge \aleph_0, co wraz z A \subseteq X daje tezę.

Z własności rozszerzania istnieje taki ciąg funkcji g_m : \alpha_{<m} \to \{ 0, 1 \} przy m \ge n, że g = g_n \subseteq g_{n+1} \subseteq g_{n+2} \subseteq \ldots oraz g_m \cup \{ \left< \beta, 1 \right> \} \in \mathcal{F} dla każdego m \ge n.

- Jeśli g_m \cup \{ \left< \beta, 0 \right> \} \notin \mathcal{F} dla pewnego m \ge n, to z konstrukcji A^{(g)} \supseteq A_{m+1}^{(g_m)} \supseteq \left< g_m, C_{\alpha} \right> \setminus B_m^{(g_m)}. Ponieważ \left< g_m, C_{\alpha} \right> jest nieskończony, a B_m^{(g_m)} skończony, więc A^{(g)} musi być nieskończony.

- W przeciwnym razie niech a_m będzie jedynym elementem A_{m+1} \cap \big[ \left< g_m, C_{\alpha} \right> \setminus (A_m \cup B_m ) \big]. Nietrudno zauważyć, że a_m są parami różne i \{ a_m : m \ge n \} \subseteq A^{(g)}, co daje tezę.

To kończy dowód lematu. \blacksquare


Pozostaje przeprowadzić konstrukcję rodziny \left< C_{\alpha} : \alpha < \omega_1 \right>, tak żeby dla każdego \beta \in \omega_1 rodzina \left< C_{\alpha} : \alpha < \beta \right> spełniała częściowy warunek (\ast).

\bullet Z własności \varnothing \in \mathcal{F} wynika, że pusta rodzina spełnia częściowy warunek (\ast), więc z lematu dostajemy C_0 \subseteq \NN taki, że \left< C_{\alpha} : \alpha < 1 \right> spełnia częściowy warunek (\ast).

\bullet Załóżmy, że \beta < \omega_1 i skonstruowaliśmy już rodzinę \left< C_{\alpha} : \alpha \le \beta \right>, która spełnia częściowy warunek (\ast). Z lematu dostajemy rodzinę \left< C_{\alpha} : \alpha \le \beta+1 \right>, która też spełnia częściowy warunek (\ast).

\bullet Niech 0 < \gamma < \omega_1 będzie graniczna i załóżmy, że skonstruowaliśmy już taką rodzinę \left< C_{\alpha} : \alpha < \gamma \right>, że dla każdego \beta < \gamma rodzina \left< C_{\alpha} : \alpha < \beta \right> spełnia częściowy warunek (\ast). Ale ten warunek jest skończonego charakteru, więc cała rodzina \left< C_{\alpha} : \alpha < \gamma \right> spełnia częściowy warunek (\ast). Z lematu dostajemy C_{\gamma} \subseteq \NN, takie że \left< C_{\alpha} : \alpha \le \gamma \right> spełnia częściowy warunek (\ast).

Ze skończonego charakteru wynika, że rodzina \left< C_{\alpha} : \alpha < \omega_1 \right> spełnia (\ast), co kończy dowód.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 25 lip 2017, o 22:06 
Użytkownik

Posty: 364
Lokalizacja: Wrocław
Hmm, taki długi i piękny dowód. Ale chyba można krócej i prościej.
Mianowicie, Dasio11 już pokazał (na początku), że bez straty ogólności możemy założyć, że nasza przestrzeń X ciężaru \leq\aleph_1 jest domkniętym podzbiorem przestrzeni 2^{\aleph_1}. W szczególności jest ona zwartą przestrzenią zerowymiarową (tzn. z bazą złożoną ze zbiorów otwarto-domkniętych), a zatem jest homeomorficzna z przestrzenią Stone'a algebry Boole'a otwarto-domkniętych podzbiorów przestrzeni X. Niech \cal A będzie tą algebrą Boole'a. Ma ona moc \leq\aleph_1 i X\approx S({\cal A}).

Wystarczy więc pokazać, że algebra \cal A zanurza się w algebrę {\cal P}(\mathbb{N})/=^*, tj. algebrę ilorazową algebry {\cal P}(\mathbb{N}) przez relację =^* równości zbiorów prawie wszędzie. No bo jeśli {\cal A}' jest podalgebrą algebry {\cal P}(\mathbb{N})/=^*, to istnieje naturalna ciągła surjekcja z \beta\omega\setminus\omega\approx S({\cal P}(\mathbb{N})/=^*) na S({\cal A}').

Wobec tego wystarczy udowodnić lemat:

Jeżeli \cal A jest algebrą Boole'a mocy \leq\aleph_1, to {\cal A} zanurza się w algebrę {\cal P}(\mathbb{N})/=^*.

Dowód tego lematu jest dość standardowy. Rozważamy zbiór generatorów \{b_{\alpha}:\alpha<\omega_1\} algebry \cal A i przez indukcję względem \alpha<\omega_1 znajdujemy zbiory B_{\alpha}\subseteq\mathbb{N} takie, że funkcja b_{\alpha}\mapsto B_{\alpha}/=^* rozszerza się do monomorfizmu algebr Boole'a {\cal A}\to {\cal P}(\mathbb{N})/=^*.

W kroku indukcyjnym zbiór B_{\alpha} konstruujemy również indukcyjnie, biorąc pod uwagę podalgebrę algebry {\cal P}(\mathbb{N})/=^* generowaną przez B_{\beta}/=^*,\beta<\alpha. Istotne jest tu, że ta podalgebra jest przeliczalna.
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 3 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 W przestreniach metrycznych obraz przez funkcję ciąglą  ros1  3
 Obraz zbioru i ciągu zbieżnego  bnyh6  1
 Obraz zbioru ograniczonego przez funkcję jednostajnie ciągłą  _Mithrandir  7
 Obraz przedziału  Zbyszek92  10
 ciągły obraz zbioru zwartego jest zbiorem zwartym  leszczu450  3
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl