Matematyka » Matematyka królowa nauk » Probabilistyka » Kombinatoryka i matematyka dyskretna

liczba sposobów rozłożenia liczby na trzy czynniki

Strona 1 z 1

[ Posty: 4 ]

Autor

Wiadomość

WolfusA Offline

Tytuł: liczba sposobów rozłożenia liczby na trzy czynniki

Napisane: 27 sty 2017, o 21:38

Posty: 182

Na ile sposobów można rozłożyć na trzy czynniki liczbę 404187265625, z uwzględnieniem kolejności dzielników i z powtórzeniami dzielników.
Wskazówką może być fakt, że ta liczba to iloczyn potęg $5^{7} \times 11^{3} \times 13^{2} \times 23^{1}$
Najłatwiejsze rozwiązanie, do którego dotarłem to grupowanie tych liczb, z uwzględnianiem potęg, ale to dość kłopotliwe i długotrwałe, więc poddałem się po dotarciu do potęgi liczby 11. Czy macie jakiś prosty sposób na to zadanie?

Uniwersytet Wrocławski Instytut Matematyczny - rekrutacja 2019

Góra

macik1423 Offline

Tytuł: liczba sposobów rozłożenia liczby na trzy czynniki

Napisane: 28 sty 2017, o 12:36

Posty: 873
Lokalizacja: R do M

Może tak, jedno z rozwiązań:
$5,5,5,5|5,5,5,11,11,11|13,13,23$ ,
$625\cdot 166375 \cdot 3887$ ,
wstawiamy dwie kreski w możliwe $12$ miejsc ${12 \choose 2}$

Góra

WolfusA Offline

Tytuł: liczba sposobów rozłożenia liczby na trzy czynniki

Napisane: 13 lut 2017, o 16:45

Posty: 182

Widziałem rozwiązanie "firmowe" i według autora zadania ta liczba to
$\binom{7+2}{2}\binom{3+2}{2}\binom{2+2}{2}\binom{1+2}{2}$

Góra

Mruczek Offline

Tytuł: liczba sposobów rozłożenia liczby na trzy czynniki

Napisane: 13 lut 2017, o 22:43

Posty: 1094

macik1423 napisał(a):

Może tak, jedno z rozwiązań:
$5,5,5,5|5,5,5,11,11,11|13,13,23$ ,
$625\cdot 166375 \cdot 3887$ ,
wstawiamy dwie kreski w możliwe $12$ miejsc ${12 \choose 2}$

To jest źle dlatego, że np. w rozkładzie pierwszej liczby na czynniki mogą być zarówno czynniki $5$ i $23$ , a może np. nie być czynnika $11$ - takich liczb to rozwiązanie nie uwzględnia.

Każdemu z trzech dzielników przyporządkujmy czwórkę liczb, które są wykładnikami potęg czynników pierwszych kolejno: $5$ , $11$ , $13$ , $23$ . Niech dzielnikowi postaci $x_{i}= 5^{a_{i}} \cdot 11^{b_{i}} \cdot 13^{c_{i}} \cdot 23^{d_{i}}$ odpowiada czwórka $\left( a_{i} , b_{i} , c_{i} , d_{i} \right)$ dla $0 \le i \le 2$ .
Wykładniki muszą się sumować do odpowiednich wartości, więc szukamy trójek czwórek takich, że:
$\begin{cases} a_{0} +a_{1}+a_{2} = 7 \\ b_{0} +b_{1}+b_{2} = 3 \\ c_{0} +c_{1}+c_{2} = 2 \\ d_{0} +d_{1}+d_{2} = 1 \end{cases}$
Szukana liczba trójek dzielników to liczba rozwiązań tego układu równań w liczbach całkowitych nieujemnych.
Każde z powyższych równań można zinterpretować przy pomocy kombinacji z powtórzeniami, np. $a_{0} +a_{1}+a_{2} = 7$ odpowiada liczbie multizbiorów $7$ -elementowych ze zbioru $3$ -elementowego, jest ich $\binom{7+2}{2}$ . Dlatego wynik jest taki jak podałeś, czyli: $\binom{7+2}{2}\binom{3+2}{2}\binom{2+2}{2}\binom{1+2}{2}$

Góra

Poprzedni | Następny

	Strona 1 z 1	[ Posty: 4 ]

Matematyka » Matematyka królowa nauk » Probabilistyka » Kombinatoryka i matematyka dyskretna

Zobacz podobne tematy
Tytuł tematu	Autor	Odpowiedzi
Ile jest dzielnikow liczby	Anonymous	6
ustawianie osob w rzedzie, liczby n-cyfrowe itp	Anonymous	16
Ile sposobow - wybor trzech liczb, aby suma byla parzysta	Anonymous	2
"na ile sposobów mozna ustawić ciąg..."	ktosia	6
Ile sposobow - rozmieszczenia kul w komorkach	Anonymous	4

[Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]