szukanie zaawansowane
 [ Posty: 6 ] 
Autor Wiadomość
Kobieta Offline
PostNapisane: 3 lut 2017, o 16:49 
Użytkownik

Posty: 4
Lokalizacja: Zakopane
Znaleźć punkt P' symetryczny do punktu P(1,2,1) względem prostej L: \begin{cases} x+y+z=-1\\2x-y+z=0\end{cases}
Uniwersytet Wrocławski Instytut Matematyczny - rekrutacja 2018
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 3 lut 2017, o 19:09 
Moderator

Posty: 4299
Lokalizacja: Kraków PL
  1. Sprawdzić, czy punkt P nie należy do prostej L. Gdy należy, P'=P .
  2. Przekształcić równanie prostej L do postaci parametrycznej.
  3. Znaleźć równanie płaszczyzny \alpha prostopadłej do tej prostej i przechodzącej przez punk P.
  4. Znaleźć punkt O przebicia płaszczyzny \alpha przez prostą L.
  5. P'=P+2\cdot\overrightarrow{PO} .
Góra
Kobieta Offline
PostNapisane: 4 lut 2017, o 16:16 
Użytkownik

Posty: 4
Lokalizacja: Zakopane
A w jaki sposób mam przekształcić równanie do postaci parametrycznej?
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 4 lut 2017, o 19:37 
Moderator

Posty: 4299
Lokalizacja: Kraków PL
To co podam, dobrze wkomponowuje się w temat zadania (punkty 3. i 4.; punkt 2. de facto nie jest potrzebny).
Jeżeli płaszczyzny o równaniach A_1x+B_1y+C_1z+D_1=0 i A_2x+B_2y+C_2z+D_2=0 przecinają się wzdłuż prostej L, to iloczyn wektorowy [A_1,B_1,C_1]\times[A_2,B_2,C_2]=[A,B,C]\neq\vec{0} jest wektorem normalnym płaszczyzny do nich prostopadłej, a jednocześnie wektorem kierunkowym ich prostej przecięcia.

Równanie parametryczne prostej L (punkt 2.)

Należy przyjąć dowolne D i rozwiązać układ równań:

    \begin{cases}
\ A_1x+B_1y+C_1z+D_1=0 \\
\ A_2x+B_2y+C_2z+D_2=0 \\
\ Ax+By+Cz+D=0
\end{cases}

którym jest trójka współrzędnych punktu S=(x_{_S},y_{_S},z_{_S}) na prostej L, a jej równanie parametryczne będzie następujące:

    \begin{cases}
\ x=x_{_S}+At \\
\ y=y_{_S}+Bt \\
\ z=z_{_S}+Ct
\end{cases}

Tu można pominąć wyznaczanie równania parametrycznego prostej L tylko od razu wykorzystując współrzędne punktu P=(x_{_P},y_{_P},z_{_P}) wyznaczyć wyraz wolny równania płaszczyzny prostopadłej:

    D=-Ax_{_P}-Bx_{_P}-Cx_{_P}

a wówczas rozwiązaniem ww. układu równań będą współrzędne punktu O=(x_{_O},y_{_O},z_{_O}) przebicia płaszczyzny prostopadłej i prostej L .

Edit:

Poprawiłem indeksowanie.
Góra
Kobieta Offline
PostNapisane: 6 lut 2017, o 00:21 
Użytkownik

Posty: 4
Lokalizacja: Zakopane
Wyznaczyłam to równanie 2x+y-3z-1=0
ale nie wiem co dalej :)
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 6 lut 2017, o 01:49 
Moderator

Posty: 4299
Lokalizacja: Kraków PL
SlotaWoj napisał(a):
a wówczas rozwiązaniem ww. układu równań będą współrzędne punktu O=(x_{_O},y_{_O},z_{_O}) przebicia płaszczyzny prostopadłej i prostej L .
Trzeba wyznaczyć współrzędne punktu O , czyli rozwiązać układ równań (na zielono oznaczyłem Twoje równanie):

    \newrgbcolor{dg}{0 0.5 0}\begin{cases}
\ x+y+z=-1 \\
\ 2x-y+z=0 \\
\ {\dg{2x+y-3z=1}}
\end{cases}
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 6 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 Punkt symetryczny  Marek01  1
 Punkt symetryczny - zadanie 3  R33  1
 punkt symetryczny - zadanie 4  matteooshec  1
 Punkt symetryczny - zadanie 7  Massami  1
 punkt symetryczny - zadanie 5  tadziu04  1
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl