szukanie zaawansowane
 [ Posty: 8 ] 
Autor Wiadomość
Kobieta Offline
PostNapisane: 3 lut 2017, o 22:08 
Użytkownik

Posty: 123
Lokalizacja: Yakushima
Wykaż, że jeżeli a+b\geqslant1 i a>0 i b>0, to a^{4}+b^{4}\geqslant\frac{1}{8}
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 3 lut 2017, o 22:18 
Użytkownik

Posty: 22449
Lokalizacja: piaski
Z nierówności między średnimi potęgowymi.
Góra
Kobieta Offline
PostNapisane: 3 lut 2017, o 22:22 
Użytkownik

Posty: 123
Lokalizacja: Yakushima
piasek101, tego się domyśliłem. Ale dla których konkretnie średnich?
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 3 lut 2017, o 22:24 
Użytkownik

Posty: 22449
Lokalizacja: piaski
,,Pierwsza z czwartą".
Góra
Mężczyzna Online
PostNapisane: 3 lut 2017, o 22:25 
Użytkownik

Posty: 12901
Lokalizacja: Bydgoszcz
Albo od razu : arytmetyczna i potegowa rzędu 4, albo dwa razy arytmetyczna i kwadratowa
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 3 lut 2017, o 22:39 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 10283
Lokalizacja: Wrocław
Jeżeli nie znasz nierówności między średnimi potęgowymi, to można też z oczywistej nierówności
(a-b)^2 \ge 0 dla rzeczywistych wywnioskować, że 2(a^2+b^2)\ge (a+b)^2, a następnie dwa razy zastosować tę nierówność, najpierw do oszacowania z dołu
a^4+b^4=(a^2)^2+(b^2)^2, a potem (a^2+b^2)^2. Niemniej jednak nierówności między średnimi potęgowymi to coś, co warto poznać.
Góra
Kobieta Offline
PostNapisane: 3 lut 2017, o 22:40 
Użytkownik

Posty: 1259
Żeby nierówność zachodziła, wystarczy pierwszy z warunków, bo 8\left(a^4+b^4\right)-1\ge 8\left(a^4+b^4\right)-(a+b)^4=(a-b)^2\left(6(a+b)^2+(a-b)^2\right)\ge 0

PS Ale gdy się już ktoś uprze, to z AM-GM...

4=\left(\frac{a^4}{a^4+b^4}+\frac{1}{2}+\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\right)+\left(\frac{b^4}{a^4+b^4}+\frac{1}{2}+\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\right)\ge\\ \\ 4\sqrt[4]{\frac{a^4}{a^4+b^4}\cdot\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{2}}+4\sqrt[4]{\frac{b^4}{a^4+b^4}\cdot\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{2}}=\frac{4(a+b)}{\sqrt[4]{8\left(a^4+b^4\right)}}

...lub z Hoeldera: (1+1)(1+1)(1+1)\left(a^4+b^4\right)\ge (a+b)^4\ge 1^4
Góra
Mężczyzna Online
PostNapisane: 27 lut 2017, o 00:11 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 606
Lokalizacja: hrubielowo
2 razy z Cauchy'ego-Schwarza w forme Engela :

\frac{a^4}{1} + \frac{b^4}{1}  \ge  \frac{\left( a^2+b^2\right)^2 }{1+1} \ge  \frac{\left(  \frac{(a+b)^2}{1+1} \right)^2 }{2} \ge  \frac{1}{8}

Albo od razu Radon :D
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 8 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 Dowód nierówności  Sebastian R.  2
 Dowód nierówności - zadanie 8  mcmcjj  3
 dowód nierówności - zadanie 10  marek12  7
 Dowód nierówności - zadanie 13  maniek-07  5
 Dowód nierówności - zadanie 17  aska3007  1
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl