szukanie zaawansowane
 [ Posty: 11 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 13 lut 2017, o 05:36 
Użytkownik

Posty: 61
Rozważmy zbiór \ZZ^{2} z działaniami \oplus i \otimes określonymi następująco:

\left( m,k \right)  \oplus  \left( p,q \right)  =  \left( m+p,k+q \right)
\left( m,k \right)  \otimes  \left( p,q \right)  =  \left( mp,pq \right)

Pokazać, że \left( \ZZ^{2},\oplus, \otimes \right) jest pierścieniem przemiennym z jedynką. Czy ten pierscień ma dzielniki zera?
Uniwersytet Wrocławski Instytut Matematyczny - rekrutacja 2019
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 13 lut 2017, o 14:28 
Użytkownik

Posty: 1017
I jaki problem np. z pierwszą częścią zadania. Wystarczy sprawdzić, czy spełnione są aksjomaty pierścienia przemiennego z jedynką.

Sprawdźmy istnienie dzielników zera. \mathbf{a} jest dzielnikiem zera, jeśli istnieje \mathbf{b} \neq \mathbb{O}, takie, że \mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = \mathbb{O}.

\mathbf{a} = (a_1,a_2), \mathbf{b} = (b_1,b_2).

Czyli:
\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = \mathbb{O} \\
(a_1b_1,a_2b_2)=(0,0) \\
a_1b_1=0, b_1b_2 = 0.

Jeśli a_1= 0 to jest to dzielnik zera, gdyż: (0,a_2) \cdot (b_1,0)=(0,0), b_1 \neq 0, a_2 \in Z
Jeśli a_1\neq  0  \rightarrow b_1=0 to jest to dzielnik zera gdy a_2=0, gdyż: (a_1,0) \cdot (0,b_2)=(0,0), b_1 \neq 0, a_1 \in Z

Czyli:
\mathbf{a}=(a_1,0)  \vee \mathbf{a}=(0,a_2)  \vee \mathbf{a}=\mathbb{O}, a_1,a_2\in Z
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 13 lut 2017, o 19:25 
Użytkownik

Posty: 61
Ale jak to się ma do konkretnego przykładu? Czy to oznacza, że nasze (a_{1},a_{2}) jest (m,k) z zadania, zaś (b_{1},b_{2}) to (p,q)?
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 13 lut 2017, o 20:28 
Użytkownik

Posty: 1017
A co to za różnica napisać (a_1,a_2) zamiast (m,k) itd.? Przecież to znaczy dokładnie to samo...
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 13 lut 2017, o 20:34 
Użytkownik

Posty: 61
Czyli rozwiązanie jest takie:

Sprawdźmy istnienie dzielników zera. \mathbf{a} jest dzielnikiem zera, jeśli istnieje \mathbf{b} \neq \mathbb{O}, takie, że \mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = \mathbb{O}.

\mathbf{a} = (m,k), \mathbf{b} = (p,q).

Czyli:
\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = \mathbb{O} \\
(mp,kq)=(0,0) \\
mp=0, pq = 0.

Jeśli m= 0 to jest to dzielnik zera, gdyż: (0,k) \cdot (p,0)=(0,0), p \neq 0, k \in Z
Jeśli m\neq  0  \rightarrow p=0 to jest to dzielnik zera gdy q=0, gdyż: (m,0) \cdot (0,q)=(0,0), p \neq 0, m \in Z

Czyli:
\mathbf{a}=(m,0)  \vee \mathbf{a}=(0,k)  \vee \mathbf{a}=\mathbb{O}, m,k\in Z
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 13 lut 2017, o 20:43 
Gość Specjalny

Posty: 812
Lokalizacja: Zabrze
Zamiast m i k możesz napisać nawet \aleph i \Psi. Ponawiam pytanie: co za różnica?
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 13 lut 2017, o 21:17 
Użytkownik

Posty: 61
W treści jest m, k, więc mnie może być alef zero bez zera ani fi.

Dobrze to zadanie jest teraz wykonane czy dalej jest jakiś haczyk?
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 14 lut 2017, o 14:26 
Użytkownik

Posty: 1017
quru napisał(a):
W treści jest m, k, więc mnie może być alef zero bez zera ani fi.

Dobrze to zadanie jest teraz wykonane czy dalej jest jakiś haczyk?

Przecież to kopiuj-wklej mojego rozwiązania, więc ciężko by zakładając, że ja mam dobrze, Ty miałeś źle. Dalej kompletnie nie rozumiem Twoich problemów...
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 14 lut 2017, o 17:37 
Gość Specjalny

Posty: 812
Lokalizacja: Zabrze
Póki m,n... nie oznaczają jakiś konkretnych liczb (w sensie póki nie powiedzieliśmy, że np. m jest najmniejszą liczbą o jakieś własności), możesz zamiast m,n... napisać dowolną inną literę (o ile ta litera nie ma swojego zarezerwowanego znaczenia).
Góra
Mężczyzna Online
PostNapisane: 2 lip 2017, o 22:21 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 13368
Lokalizacja: Wrocław
O kurde, przepraszam za OT, ale "alef zero bez zera" to jest taki forumowy "Psikutas bez s". Piękne!
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 3 lip 2017, o 06:48 
Użytkownik

Posty: 16344
Lokalizacja: Bydgoszcz
squared napisał(a):
I jaki problem np. z pierwszą częścią zadania. Wystarczy sprawdzić, czy spełnione są aksjomaty pierścienia przemiennego z jedynką.



Sęk w tym, że nie są :evil:
Z rozdzielnością jest kłopot, mnożenie nie jest przemienne, jedynki nie ma.

To parę argumentów za tym, że badanie dzielników zera ma mało sensu.

Na dodatek Twoj argument jest słaby: dla dowolnych (m,k) mamy (m,k)\otimes(0,1)=(0,0)
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 11 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 pierścień przemienny - zadanie 5  paulina95  3
 Pierscien przemienny  MuFaBartek  1
 pierścień przemienny - zadanie 3  Anonymous  7
 pierścień przemienny - zadanie 2  Iwusia19  4
 pierścień przemienny  ddawidd  2
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl