szukanie zaawansowane
 [ Posty: 7 ] 
Autor Wiadomość
Kobieta Offline
PostNapisane: 16 lut 2017, o 20:42 
Użytkownik

Posty: 1260
Postanowiłam przyznać parę punktów pomógł/pomogła.

Dla a,b,c>0 należy udowodnić, że:

a) jeżeli a+b+c=3, to a^2+b^2+c^2+abc\ge 4;

b) jeżeli a^2+b^2+c^2+abc=4, to a+b+c\le 3.
Góra
Mężczyzna Online
PostNapisane: 16 lut 2017, o 23:05 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 10284
Lokalizacja: Wrocław
a)
Ukryta treść:    
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 19 lut 2017, o 22:29 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 1369
Lokalizacja: Katowice
b) wynika z a):    
w podobny sposób można wykazać, że a) wynika z b), czyli te dwie nierówności to tak naprawdę jedno i to samo
Góra
Kobieta Offline
PostNapisane: 20 lut 2017, o 09:48 
Użytkownik

Posty: 1260
Dzięki, oba rozwiązania bardzo fajne. Pomyślałam, że być może czasem wrzucę tu jakąś nierówność, co do której mam pewność, że posiada w miarę krótkie rozwiązanie zrozumiałe na poziomie rozgarniętego licealisty - nieolimpijczyka (przynajmniej nie z matematyki). Zamieszczone rozwiązania mogłyby być dowolne przy zachowaniu pewnej dozy dbałości o poprawność.
Ukryta treść:    
Góra
Kobieta Offline
PostNapisane: 16 lip 2017, o 20:37 
Użytkownik

Posty: 1260
Teraz taka - tylko trochę trudniejsza. To trzeci tautogram tutaj. :roll:

Dane takie rzeczywiste a,b,c,d, że a^2\le 2b oraz c^2<2bd
Należy udowodnić, że dla wszystkich rzeczywistych iksów zachodzi x^4+ax^3+bx^2+cx+d>0
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 16 lip 2017, o 21:18 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 1369
Lokalizacja: Katowice
z założeń wynika, że b>0, wyróżnik trójmianu kwadratowego x^2+ax+\frac b2 jest niedodatni oraz że wyróżnik trójmianu \frac b2 x^2+cx+d jest ujemny, więc skoro współczynniki wiodące są dodatnie dostajemy x^2+ax+\frac b2 \ge 0 i \frac b2 x^2+cx+d>0, tak więc x^4+ax^3+bx^2+cx+d = x^2\left(x^2+ax+\frac b2\right)+\frac b2 x^2+cx+d>0
Góra
Kobieta Offline
PostNapisane: 17 lip 2017, o 00:09 
Użytkownik

Posty: 1260
Fajnie. To chyba najprostsze z zadań z ostatniego numeru Mathematical Reflections. Termin wysyłania rozwiązań upłynął wczoraj. Mam nadzieję, że choć raz byliśmy szybsi od mathlinksa.
Ukryta treść:    
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 7 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 Nierownosc Czebyszewa - kiedy rownosc?  Linka  1
 Nierówność - zadanie 9  koala  5
 Nierówność - zadanie 11  Keira  3
 udowodnij nierówność - zadanie 2  Pshczoolka  1
 Czy zachodzi nierówność ?  alexandra  1
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl