szukanie zaawansowane
 [ Posty: 5 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 18 lut 2017, o 00:37 
Użytkownik

Posty: 41
Lokalizacja: Szczecin
Uzasadnij, że dla każdej liczby naturalnej n liczba 7^{n} \cdot 3^{2n}-2^{3n} jest podzielna przez 11.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 18 lut 2017, o 00:46 
Użytkownik

Posty: 1039
Lokalizacja: Lublin/Warszawa
Hint:    
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 18 lut 2017, o 00:47 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 10552
Lokalizacja: Wrocław
Inna wskazówka:
7^{n} \cdot 3^{2n}-2^{3n}=63^n-8^n=(63-8)\cdot \dots

Skorzystaj ze wzoru na różnicę n-tych potęg.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 22 lut 2017, o 00:40 
Użytkownik

Posty: 41
Lokalizacja: Szczecin
7^{n} \cdot 3^{2n}-2^{3n}=63^{n}-8^{n}=11m
dla n=1:
63^{n}-8^{n}=63-55=11 \cdot 5

Zakładam, że wyrażenie jest prawdziwe dla n=k
63^{k}-8^{k}=11m

Dowodzę prawdziwość wyrażenie dla n=k+1
63^{k+1}-8^{k+1}=11m
\\ 63^{k}=11m+8^{k}
\\ 63 \cdot 63^{k}-8 \cdot 8^{k}=63(8^{k}+11m)-8 \cdot 8^{k}=63 \cdot 11m+63 \cdot 8^{k}=11(63m+5 \cdot 8^{k})=11l \\
 k,l,m,n\in\NN

Na mocy indukcji matematycznej wyrażenie jest prawdziwe dla każdego n\in\NN.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 22 lut 2017, o 00:52 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 10552
Lokalizacja: Wrocław
"Wyrażenie jest prawdziwe" czy "wyrażenie jest prawdziwe dla każdego n \in \NN" to jakiś potworek
gramatyczno-matematyczny (choć może to znowu mój puryzm daje o sobie znać). Można napisać, że na mocy zasady indukcji matematycznej rozważana podzielność zachodzi dla każdego n \in \NN. Poza tym m się zmienia, więc masz pewien konflikt oznaczeń (i też na początku nie piszesz, czym jest rzeczone m, a to nieładnie).
Poza tym OK.
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 5 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 Podzielność przez 11  alexandra  1
 Podzielność przez 11 - zadanie 7  Marc0  5
 podzielność przez 11 - zadanie 4  adacho90  7
 podzielność przez 11 - zadanie 10  ertentos  2
 podzielność przez 11 - zadanie 15  virhill  4
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl