szukanie zaawansowane
 [ Posty: 9 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 19 lut 2017, o 18:41 
Użytkownik

Posty: 51
Lokalizacja: ~Poznań
Dany jest sześcian ABCDA'B'C'D' o boku długości a. Oblicz odległość między przekątnymi A'D i AC.
Chciałbym tylko nadmienić, że jestem uczniem liceum i z geometrią analityczną w przestrzeni nie miałem w szkole do czynienia. Jestem świadomy, że skoro jest to zadanie maturalne to można je rozwiązać prostszą metodą, ja jednak chciałbym spróbować czegoś ponadprogramowego. Dziękuję za wszystkie sugestie i pomoc.
A więc postanowiłem wyznaczyć równanie płaszczyzny dolnej podstawy sześcianu (ABCD). I tak:
\vec{AB}  \times  \vec{BC} = [0,   -a^{2}, 0]

Ze wzoru A(x- x_{0}) + B(y- y_{0}) + C(z- z_{0}) = 0 wyznaczyłem równanie płaszczyzny: -a^{2}y = 0

Następnie równanie prostej A'D: z = -y + a

Odległość punktu od prostej: d= \frac{\left| A x_{0} + B y_{0} + C z_{0} + D\right| }{ 
\sqrt{A^{2} + B^{2} + C^{2} } } = y

Plan miałem taki, aby wyznaczyć wartość minimalną funkcji długości odcinka między punktem prostej A'D, no ale nie wyszło... Gdzie robię błąd?

Chciałbym zaznaczyć, że nie muszę tego rozwiązywać koniecznie taką metodą - chciałbym jednak pobawić się geometrią analityczną w 3D.

Pozdrawiam
Góra
Mężczyzna Online
PostNapisane: 19 lut 2017, o 19:27 
Użytkownik

Posty: 15824
Lokalizacja: Bydgoszcz
Napisz równania parametryczne dwóch prostych zawierających te przekatne i policz kwadrat odległosci dwóch punktów. dostaniesz funkcje dwóch zmiennych, której minimum wyznacza sie łatwo.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 19 lut 2017, o 19:35 
Użytkownik

Posty: 51
Lokalizacja: ~Poznań
Funkcji dwóch zmiennych nie miałem w szkole, nie ma prostszej metody?
Góra
Mężczyzna Online
PostNapisane: 19 lut 2017, o 19:39 
Użytkownik

Posty: 15824
Lokalizacja: Bydgoszcz
Ale spróbuj, może się to okazac całkiem łatwym ćwiczeniem
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 19 lut 2017, o 20:13 
Użytkownik

Posty: 51
Lokalizacja: ~Poznań
Wyliczyłem punkty stacjonarne (a w zasadzie punkt): P( \frac{a}{3},  \frac{a}{3}). Pochodne cząstkowe drugiego rzędu wynoszą 4. Jest sens brnąć w to dalej, czy już na tym etapie możemy stwierdzić, że skoro kwadrat odległości minimalnej przyjmowany jest dla \frac{a}{3}, to odległość minimalna wynosi jest wartością pierwiastka wyliczonej funkcji w tym punkcie \sqrt{F( \frac{a}{3}, \frac{a}{3} )}?

Sposób jak dla mnie jednak trochę na wyrost, a po drugie tak jak pisałem chodziło mi raczej o przećwiczenie geometrii analitycznej w trzech wymiarach - na pochodne funkcji wielu zmiennych przyjdzie jeszcze czas :). W każdym razie bardzo dziękuję za pomoc, czekam jednak na sugestie jak to rozwiązać w sposób mnie interesujący.
Góra
Mężczyzna Online
PostNapisane: 19 lut 2017, o 21:07 
Użytkownik

Posty: 15824
Lokalizacja: Bydgoszcz
Masz jedno ekstremum. Jak punkty uciekają do nieskończoności, to odległośc też. Ergo: znaleziony punkt jest minimum.

Fajnie, że przerobiłes temat o ekstremach funkcji wielu zmiennych. Czy możesz tę funkcję tu napisać?
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 19 lut 2017, o 21:51 
Użytkownik

Posty: 51
Lokalizacja: ~Poznań
prosta A'D: z = a - y
prosta AC: z = x
d(x,y)=  \sqrt{ (0-x)^{2} + (y-0)^{2} + (a-y-x)^{2} } =  \sqrt{2x ^{2} + 2y ^{2} + 2xy  - 2ax - 2ay + a^2}
F(x) = 2x ^{2} + 2y ^{2} + 2xy  - 2ax - 2ay + a^2
\frac{ \partial F}{ \partial x}  = 4x + 2y - 2a
\frac{ \partial F}{ \partial y}  = 2x + 4y - 2a

a4karo napisał(a):
Fajnie, że przerobiłes temat o ekstremach funkcji wielu zmiennych.

Również się cieszę, że chociaż trochę udało się temat 'liznąć'. Do sprawności obliczeniowej jednak jeszcze daleko.

@edit
Co w przypadku, gdy mamy kilka punktów stacjonarnych? Rozumiem, że powinniśmy przeprowadzić przebieg zmienności pochodnej (lub chociaż jej poglądowy szkic), tak?
Góra
Mężczyzna Online
PostNapisane: 19 lut 2017, o 22:10 
Użytkownik

Posty: 15824
Lokalizacja: Bydgoszcz
F(x,y)=(x+y)^2+(a-x)^2+(a-y)^2-a^2. Przy założeniu 0<x,y<a mamy

\sqrt{\frac{(x+y)^2+(a-x)^2+(a-y)^2}{3}}\geq \frac{(x+y)+(a-x)+(a-y)}{3}=\frac{2a}{3}
(toz nierówności między średnią kwadratową i arytmetyczną, z równością wtedy, gdy wszystkie trzy liczby są równe.

Obeszło sie więc bez liczenia pochodnych.

Dla punktów stacjonarnych funkcji dwóch zmiennych liczy się wyznacznik
\begin{vmatrix}\frac{\partial^2 F}{\partial x^2} & \frac{\partial^2 F}{\partial x\partial y}\\\frac{\partial^2 F}{\partial x\partial y}&\frac{\partial^2 F}{\partial y^2}\end{vmatrix}

Jak jest większy od zera, to jest ekstremum, jak mniejszy, to nie ma, Jak jest zero, to trzeba stosować trochę subtelniejsze metody.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 19 lut 2017, o 22:20 
Użytkownik

Posty: 51
Lokalizacja: ~Poznań
Odpowiedź w zbiorze jest zgodna z moją: d =  \frac{a \sqrt{3} }{3}
Czy w drugim zapisie nie zgubił Pan czynnika -a ^{2}?

@edit
Dobra, chyba łapię. Skoro wyrażenie \sqrt{\frac{(x+y)^2+(a-x)^2+(a-y)^2}{3}} jest większe lub równe \frac{2a}{3}, to po podniesieniu do kwadratu i pomnożeniu razy 3 otrzymujemy (x+y)^2+(a-x)^2+(a-y)^2  \ge  \frac{4a ^{2} }{3}, reszta to już oczywista oczywistość.

@edit_2
Żeby było śmieszniej, program nierówności między średnimi również nie obejmuje :D. Na szczęście jest to na tyle elementarne zagadnienie, że zdążyłem się z nim już wcześniej zapoznać. Przydatna rzecz ;).
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 9 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 Kąt między prostymi opisanymi równaniami  Falcon01  4
 Odległość, okręgi, kąty trójkąta, wierzchołki trapezu  goorall93  1
 odległość punktu od prostej - zadanie 11  grzegorz39  1
 Oblicz odległość między prostymi - zadanie 4  Balusiek  1
 Odległość punktu od okręgu o równaniu  czarnulka1234  5
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl